5. Systèmes à nombre de niveaux fini
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L’équation d’évolution pour | ˆ
ϕ(t) devient
i
d
dt
| ˆ
ϕ(t) = i
d
dt
e
−iωtσz /2 |ϕ(t)
=
1
2
ωσ z + ˆ
H(t)
| ˆ
ϕ(t)
(5.29)
avec
ˆ
H(t)=e
−iωtσz/2 H(t) e
iωtσz/2 = H 0 + ˆ
H 1 (t)
(5.30)
Pour calculer ˆ
H 1 (t), nous allons partir de la forme (5.25) de H 1 (t). Les opérateurs ˆ
σ ± (t)
ˆ
σ ± (t)=e
−iωtσz /2 σ ± e
iωtσz/2
(5.31)
obéissent à l’équation différentielle
d
dt
ˆ
σ ± (t)=−
i
2
ωe
−iωtσz /2 [σ z ,σ ± ] e
iωtσz/2 = ∓iωˆ σ ± (t)
où nous nous sommes servis de (5.24), d’où le résulat important que nous
aurons souvent l’occasion d’utiliser
ˆ
σ ± (t)=e
∓iωt σ ±
(5.32)
On en déduit immédiatement l’expression de ˆ
H 1 , qui comme promis est indépendant du temps
ˆ
H 1 = −
1
2
ω 1 [σ + + σ − ]=−
1
2
ω 1 σ x
(5.33)
La proportionnalité de ˆ
H 1 à σ x ne devrait pas surprendre, puisque
B 1 est
aligné suivant Oˆ x dans le référentiel tournant, et on aurait pu anticiper (5.33).
Combinant (5.29), (5.30) et (5.33), on déduit l’expression du hamiltonien ˆ
H
dans le référentiel tournant
ˆ
H =
1
2
δσ z −
1
2
ω 1 σ x
(5.34)
Le désaccord δ = ω − ω 0 est défini comme la différence entre la fréquence de
rotation de
B 1 et la fréquence de Larmor.
5.2.2 Oscillations de Rabi
Comme ˆ
H est indépendant du temps, l’opérateur d’évolution en axes tournants est ˆ
U (t)=exp(−i ˆ
Ht/). Le cas le plus simple est celui de la résonance,
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δ =0. Dans le cas résonant, l’opérateur d’évolution se réduit à
ˆ
U (t)=e
iω1tσx/2 = I cos
ω 1 t
2
+ iσ x sin
ω 1 t
2
(5.35)
6. Nous verrons ultérieurement dans cette sous-section la raison de cette terminologie.