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Physique quantique : Fondements
En pratique, un tel champ peut être obtenu au moyen de deux bobines placées
le long des axes Ox et Oy, alimentées en courant alternatif de fréquence ω.
La contribution au hamiltonien induite par le champ
B 1 (t) est
H 1 (t)=− µ ·
B 1 (t)=−
1
2
ω 1 (σ x cos ωt − σ y sin ωt)
(5.23)
où ω 1 = γB 1 est la f r é q u e n c ed eR a b i , souvent appelée fréquence de nutation
ω nut en RMN. Il sera commode pour écrire H 1 d’utiliser les matrices σ ± =
(σ x ± iσ y )/2 qui obéissent aux relations de commutation
[σ z ,σ ± ]=±2σ ±
(5.24)
H 1 prend alors la forme
H 1 (t)=−
1
2
ω 1
σ + e
iωt + σ − e
−iωt
(5.25)
Rappelons que le hamiltonien complet dépendant du temps est
H(t)=H 0 + H 1 (t)
(5.26)
Notre objectif est de résoudre l’équation d’évolution (4.11) avec le hamiltonien dépendant du temps (5.26), c’est-à-dire déterminer le vecteur d’état du
spin 1/2 |ϕ(t) en fonction du vecteur d’état à t =0, |ϕ(0). Il est possible de
résoudre le système d’équations différentielles que l’on déduit de (4.11) pour
les composantes (5.27) c ± (t) de |ϕ(t), mais il est plus élégant et plus rapide
de se ramener à un hamiltonien indépendant du temps, qui a, de plus, l’avantage de se prêter à une interprétation géométrique. L’idée physique pour se
ramener à un hamiltonien indépendant du temps est d’utiliser un référentiel
Oˆ xˆ yz tournant autour de Oz avec la vitesse angulaire ω. Dans ce référentiel,
le champ
B 1 est indépendant du temps :
B 1 est orienté en permanence suivant
l’axe Oˆ x.S o i t|ϕ(t) le vecteur d’état dans la base {|±±} correspondant au
référentiel fixe
|ϕ(t) = c + (t)|+ + c − (t)|−−
(5.27)
Pour passer aux axes tournants, nous utilisons (3.59) qui nous dit que l’opérateur de rotation d’un angle θ autour de Oz est exp(−iθσ z /2). Les vecteurs
de base dans le référentiel tournant sont donc, avec θ = −ωt
| ˆ
+(t) = e
iωtσz /2 |+ = e
iωt/2 |+| ˆ
−(t) = e
iωtσz /2 |−− = e
−iωt/2 |−−
Dans le référentiel tournant, les composantes de |ϕ(t) sont
ˆ
c ± (t)= ˆ
±(t)|ϕ(t) = ±|e
−iωtσz /2 |ϕ(t) = ±| ˆ
ϕ(t)
où nous avons défini le vecteur d’état | ˆ
ϕ(t) dans le référentiel tournant par
| ˆ
ϕ(t) = e
−iωtσz /2 |ϕ(t)| ˆ
ϕ(t =0) = |ϕ(t =0)
(5.28)
Physique quantique : Fondements
En pratique, un tel champ peut être obtenu au moyen de deux bobines placées
le long des axes Ox et Oy, alimentées en courant alternatif de fréquence ω.
La contribution au hamiltonien induite par le champ
B 1 (t) est
H 1 (t)=− µ ·
B 1 (t)=−
1
2
ω 1 (σ x cos ωt − σ y sin ωt)
(5.23)
où ω 1 = γB 1 est la f r é q u e n c ed eR a b i , souvent appelée fréquence de nutation
ω nut en RMN. Il sera commode pour écrire H 1 d’utiliser les matrices σ ± =
(σ x ± iσ y )/2 qui obéissent aux relations de commutation
[σ z ,σ ± ]=±2σ ±
(5.24)
H 1 prend alors la forme
H 1 (t)=−
1
2
ω 1
σ + e
iωt + σ − e
−iωt
(5.25)
Rappelons que le hamiltonien complet dépendant du temps est
H(t)=H 0 + H 1 (t)
(5.26)
Notre objectif est de résoudre l’équation d’évolution (4.11) avec le hamiltonien dépendant du temps (5.26), c’est-à-dire déterminer le vecteur d’état du
spin 1/2 |ϕ(t) en fonction du vecteur d’état à t =0, |ϕ(0). Il est possible de
résoudre le système d’équations différentielles que l’on déduit de (4.11) pour
les composantes (5.27) c ± (t) de |ϕ(t), mais il est plus élégant et plus rapide
de se ramener à un hamiltonien indépendant du temps, qui a, de plus, l’avantage de se prêter à une interprétation géométrique. L’idée physique pour se
ramener à un hamiltonien indépendant du temps est d’utiliser un référentiel
Oˆ xˆ yz tournant autour de Oz avec la vitesse angulaire ω. Dans ce référentiel,
le champ
B 1 est indépendant du temps :
B 1 est orienté en permanence suivant
l’axe Oˆ x.S o i t|ϕ(t) le vecteur d’état dans la base {|±±} correspondant au
référentiel fixe
|ϕ(t) = c + (t)|+ + c − (t)|−−
(5.27)
Pour passer aux axes tournants, nous utilisons (3.59) qui nous dit que l’opérateur de rotation d’un angle θ autour de Oz est exp(−iθσ z /2). Les vecteurs
de base dans le référentiel tournant sont donc, avec θ = −ωt
| ˆ
+(t) = e
iωtσz /2 |+ = e
iωt/2 |+| ˆ
−(t) = e
iωtσz /2 |−− = e
−iωt/2 |−−
Dans le référentiel tournant, les composantes de |ϕ(t) sont
ˆ
c ± (t)= ˆ
±(t)|ϕ(t) = ±|e
−iωtσz /2 |ϕ(t) = ±| ˆ
ϕ(t)
où nous avons défini le vecteur d’état | ˆ
ϕ(t) dans le référentiel tournant par
| ˆ
ϕ(t) = e
−iωtσz /2 |ϕ(t)| ˆ
ϕ(t =0) = |ϕ(t =0)
(5.28)