5. Systèmes à nombre de niveaux fini
161
suivant : si ω ≃ ω 0 ,o ùω 0 est la différence d’énergie entre les deux niveaux,
on observe un remarquable phénomène de résonance. Nous allons en donner
trois exemples d’une grande importance pratique : la résonance magnétique
nucléaire dans cette section, la molécule d’ammoniac dans la section 5.3 et
l’atome à deux niveaux dans la section 5.4.
5.2.1 Spin 1/2 dans un champ magnétique périodique
La résonance magnétique nucléaire (RMN) repose sur le fait que les noyaux
atomiques de spin non nul possèdent des moments magnétiques. Nous nous
limiterons aux noyaux de spin 1/2 (
1 H,
13 C,
19 F, etc.) dont le moment magnétique, qui est un opérateur en mécanique quantique, est donné par
µ = γ
S =
1
2
γ σ
(5.18)
où
S est l’opérateur de spin défini dans la section 3.2, γ est le facteur gyromagnétique
γ = γ
q p
2m p
(5.19)
avec γ =5.59 pour le proton, 1.40 pour le
13 C, 5.26 pour le
19 F, etc. Le spin
nucléaire est placé dans un champ magnétique
B 0 dirigé suivant Oz. Suivant
(3.61), le hamiltonien H 0 du spin nucléaire s’écrit
H 0 = − µ ·
B 0 = −
1
2
γB 0 σ z = −
1
2
ω 0 σ z
(5.20)
avec ω 0 = γB 0 , soit encore sous forme matricielle dans une base où σ z est
diagonal
H 0 = −
1
2
ω 0
0
0 −ω 0
(5.21)
On note que comme la charge du proton q p est positive, on n’introduit pas
de signe moins dans la définition de ω 0 , contrairement à ce qui avait été fait
dans la section 3.2.5 pour le cas de l’électron. ω 0 est la fréquence de Larmor,
la fréquence de précession du moment magnétique classique autour de
B 0
(figure 3.7) ; dans le cas du proton la précession de Larmor s’effectue dans le
sens inverse du sens trigonométrique. L’état |+ a une énergie −ω 0 /2, l’état
|−− une énergie ω 0 /2 ; on est donc en présence d’un système à deux niveaux :
les deux niveaux Zeeman (§ 3.2.5) d’un spin 1/2 dans un champ magnétique,
la différence d’énergie étant ω 0 .
On ajoute au champ constant
B 0 un champ périodique
B 1 (t) situé dans le
plan xOy tournant dans le sens inverse du sens trigonométrique
5 ,c ’ e s t - àd i r e
dans le même sens que la précession de Larmor, avec une vitesse angulaire ω
B 1 (t)=B 1 (ˆ x cos ωt − ˆ
y sin ωt)
(5.22)
5. On pourrait aussi prendre un champ
B 1 (t) parallèle à Ox : cf. l’exercice 5.5.6.
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suivant : si ω ≃ ω 0 ,o ùω 0 est la différence d’énergie entre les deux niveaux,
on observe un remarquable phénomène de résonance. Nous allons en donner
trois exemples d’une grande importance pratique : la résonance magnétique
nucléaire dans cette section, la molécule d’ammoniac dans la section 5.3 et
l’atome à deux niveaux dans la section 5.4.
5.2.1 Spin 1/2 dans un champ magnétique périodique
La résonance magnétique nucléaire (RMN) repose sur le fait que les noyaux
atomiques de spin non nul possèdent des moments magnétiques. Nous nous
limiterons aux noyaux de spin 1/2 (
1 H,
13 C,
19 F, etc.) dont le moment magnétique, qui est un opérateur en mécanique quantique, est donné par
µ = γ
S =
1
2
γ σ
(5.18)
où
S est l’opérateur de spin défini dans la section 3.2, γ est le facteur gyromagnétique
γ = γ
q p
2m p
(5.19)
avec γ =5.59 pour le proton, 1.40 pour le
13 C, 5.26 pour le
19 F, etc. Le spin
nucléaire est placé dans un champ magnétique
B 0 dirigé suivant Oz. Suivant
(3.61), le hamiltonien H 0 du spin nucléaire s’écrit
H 0 = − µ ·
B 0 = −
1
2
γB 0 σ z = −
1
2
ω 0 σ z
(5.20)
avec ω 0 = γB 0 , soit encore sous forme matricielle dans une base où σ z est
diagonal
H 0 = −
1
2
ω 0
0
0 −ω 0
(5.21)
On note que comme la charge du proton q p est positive, on n’introduit pas
de signe moins dans la définition de ω 0 , contrairement à ce qui avait été fait
dans la section 3.2.5 pour le cas de l’électron. ω 0 est la fréquence de Larmor,
la fréquence de précession du moment magnétique classique autour de
B 0
(figure 3.7) ; dans le cas du proton la précession de Larmor s’effectue dans le
sens inverse du sens trigonométrique. L’état |+ a une énergie −ω 0 /2, l’état
|−− une énergie ω 0 /2 ; on est donc en présence d’un système à deux niveaux :
les deux niveaux Zeeman (§ 3.2.5) d’un spin 1/2 dans un champ magnétique,
la différence d’énergie étant ω 0 .
On ajoute au champ constant
B 0 un champ périodique
B 1 (t) situé dans le
plan xOy tournant dans le sens inverse du sens trigonométrique
5 ,c ’ e s t - àd i r e
dans le même sens que la précession de Larmor, avec une vitesse angulaire ω
B 1 (t)=B 1 (ˆ x cos ωt − ˆ
y sin ωt)
(5.22)
5. On pourrait aussi prendre un champ
B 1 (t) parallèle à Ox : cf. l’exercice 5.5.6.