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Physique quantique : Fondements
Comme U P est unitaire, ses valeurs propres sont de la forme exp(iδ) (c.f.
le § 2.3.4). Comme (U P )
N = I,ond oita v oirexp(iNδ)=1, et par conséquent
les valeurs propres sont indicées par un indice entier s
δ = δ s =
2πs
N
s =0, 1, ..., N − 1
(5.10)
Nous avons donc déterminé N valeurs propres distinctes de U P . Comme U P
agit dans un espace de dimension N , les vecteurs propres correspondants sont
orthogonaux et forment une base de H. Écrivons un vecteur propre normalisé
|χ s sous la forme
|χ s =
N −1
n=0
c n |ϕ n
N −1
n=0
|c n |
2 =1
(5.11)
Nous avons, d’une part,
U P |χ s =
N −1
n=0
c n |ϕ n−1 =
N −1
n=0
c n+1 |ϕ n
et, d’autre part,
U P |χ s = e
iδs |χ s =
N −1
n=0
e
iδs c n |ϕ n
L’identification des coefficients de |ϕ n dans ces deux équations conduit à
c n+1 = e
iδs c n soit c n = e
inδs c 0
Ceci donne pour le vecteur propre correspondant à la valeur propre exp(iδ s )
|χ s =
1
√
N
N −1
n=0
e
inδs |ϕ n
(5.12)
Le choix c 0 =1 /
√
N assure la normalisation de |χ s . Compte tenu de l’expression (5.8) de H,l av a l e u rp r o p r eE s est donnée par
E s = E 0 − A
e
iδs + e
−iδs
= E 0 − 2A cos δ s
soit (figure 5.6)
E s = E 0 − 2A cos
2πs
N
(5.13)
Nous aurions pu arriver directement à (5.13) sans passer par l’intermédiaire
de l’opérateur de permutation circulaire U P . Néanmoins, ce passage par U P
illustre une stratégie générale et non une “astuce de calcul”. Nous aurons
souvent à mettre en œuvre cette stratégie, car elle simplifie, et parfois de
Physique quantique : Fondements
Comme U P est unitaire, ses valeurs propres sont de la forme exp(iδ) (c.f.
le § 2.3.4). Comme (U P )
N = I,ond oita v oirexp(iNδ)=1, et par conséquent
les valeurs propres sont indicées par un indice entier s
δ = δ s =
2πs
N
s =0, 1, ..., N − 1
(5.10)
Nous avons donc déterminé N valeurs propres distinctes de U P . Comme U P
agit dans un espace de dimension N , les vecteurs propres correspondants sont
orthogonaux et forment une base de H. Écrivons un vecteur propre normalisé
|χ s sous la forme
|χ s =
N −1
n=0
c n |ϕ n
N −1
n=0
|c n |
2 =1
(5.11)
Nous avons, d’une part,
U P |χ s =
N −1
n=0
c n |ϕ n−1 =
N −1
n=0
c n+1 |ϕ n
et, d’autre part,
U P |χ s = e
iδs |χ s =
N −1
n=0
e
iδs c n |ϕ n
L’identification des coefficients de |ϕ n dans ces deux équations conduit à
c n+1 = e
iδs c n soit c n = e
inδs c 0
Ceci donne pour le vecteur propre correspondant à la valeur propre exp(iδ s )
|χ s =
1
√
N
N −1
n=0
e
inδs |ϕ n
(5.12)
Le choix c 0 =1 /
√
N assure la normalisation de |χ s . Compte tenu de l’expression (5.8) de H,l av a l e u rp r o p r eE s est donnée par
E s = E 0 − A
e
iδs + e
−iδs
= E 0 − 2A cos δ s
soit (figure 5.6)
E s = E 0 − 2A cos
2πs
N
(5.13)
Nous aurions pu arriver directement à (5.13) sans passer par l’intermédiaire
de l’opérateur de permutation circulaire U P . Néanmoins, ce passage par U P
illustre une stratégie générale et non une “astuce de calcul”. Nous aurons
souvent à mettre en œuvre cette stratégie, car elle simplifie, et parfois de