5. Systèmes à nombre de niveaux fini
157
H
H
H
H
H
H
C
C
C
C
C
C
(a)
(b)
1
2
3
4
5
C
C
C
C
C
C
0
Fig. 5.5 – (a) Configuration hexagonale d’une molécule de benzène et formule de
Kékulé. (b) Ossature des électrons σ.
tron est localisé au voisinage de l’atome n
o
3. Comme il n’est pas plus difficile
de traiter un nombre quelconque N d’atomes de carbone formant une chaîne
fermée, c’est-à-dire un polygone régulier à N côtés, nous notons |ϕ n l’état
où l’électron est localisé au voisinage de l’atome n
o n, n =0 , 1, ..., N − 1,
en prenant N =6pour le benzène. Les atomes n et n + N sont identiques :
n ≡ n + N . L’espace des états est à N dimensions, et le hamiltonien est défini
par son action sur |ϕ n
H|ϕ n = E 0 |ϕ n −A(|ϕ n−1 + |ϕ n+1 )
(5.6)
Pour trouver les valeurs propres et vecteurs propres de H, nous allons exploiter
la symétrie du problème sous toute permutation circulaire des N atomes de
la chaîne. Soit U P l’opérateur unitaire qui effectue une permutation circulaire
d e sa t o m e sd a n sl es e n sn → (n − 1)
U P |ϕ n = |ϕ n−1
U
†
P |ϕ n = U
−1
P |ϕ n = |ϕ n+1
(5.7)
D’après (5.6) et (5.7), nous pouvons écrire le hamiltonien sous la forme
H = E 0 I − A(U P + U
†
P )
(5.8)
ce qui implique que H et U P commutent
[H, U P ]=0
(5.9)
et ont une base de vecteurs propres communs. Cherchons les vecteurs propres
et valeurs propres de U P ,q u ie s ta priori un opérateur plus simple que H.