5. Systèmes à nombre de niveaux fini
155
2A
E 0
E 0 + A
E 0 − A
Fig. 5.3 – Niveaux d’énergie d’un électron π.
Si A =0, les états |ϕ 1 et |ϕ 2 ne sont plus des états stationnaires. Comme
nous l’avons vu au § 2.3.2, les vecteurs propres de H sont maintenant
|χ + =
1
√
2
|ϕ 1 + |ϕ 2
=
1
√
2
1
1
(5.3)
|χ − =
1
√
2
|ϕ 1 −|ϕ 2
=
1
√
2
1
−1
(5.4)
avec
H|χ + =(E 0 − A)|χ +
H|χ − =(E 0 + A)|χ −
(5.5)
Comme A>0, l’état symétrique |χ + est l’état d’énergie la plus basse. Le
spectre du hamiltonien est donné sur la figure 5.3 : l’état fondamental est
l’état |χ + , d’énergie (E 0 − A). On peut donner une interprétation spatiale de
ces résultats en examinant la localisation de l’électron sur la droite joignant
les deux atomes de carbone prise comme axe des x, l’origine étant située au
milieu de cette droite. Comme nous le verrons en détail au chapitre 8, si |x est
un vecteur propre de l’opérateur position, la quantité x|ϕ 1 est l’amplitude de
probabilité pour trouver au point x l’électron dans l’état |ϕ 1 . Au chapitre 8,
cette amplitude de probabilité sera appelée la fonction d’onde de l’électron.
Le module au carré de cette amplitude de probabilité donne la probabilité
1
de
trouver l’électron au point x, aussi appelée probabilité de présence de l’électron
au point x. Cette interprétation permet de représenter qualitativement sur la
figure 5.4 les amplitudes de probabilité χ ± (x)=x|χ ± correspondant aux
états |χ ± . La probabilité de présence correspondante s’annule à l’origine dans
le cas antisymétrique |χ − , mais non dans le cas symétrique |χ + . Le caractère
symétrique ou antisymétrique de la fonction d’onde de l’état fondamental est
lié au signe de A. En pratique, un état fondamental est toujours symétrique,
ce qui correspond à A>0.
Il nous reste à placer le second électron : ceci se fera très simplement si
nous pouvons ignorer les interactions entre cet électron et le précédent, c’està-dire utiliser l’approximation des électrons indépendants. Pour obtenir l’état
1. Plus précisément, c’est une probabilité par unité de longueur : ||x|ϕ| 2 dx est la probabilité de trouver la particule dans l’intervalle [x, x + dx] : voir le § 8.1.2.
155
2A
E 0
E 0 + A
E 0 − A
Fig. 5.3 – Niveaux d’énergie d’un électron π.
Si A =0, les états |ϕ 1 et |ϕ 2 ne sont plus des états stationnaires. Comme
nous l’avons vu au § 2.3.2, les vecteurs propres de H sont maintenant
|χ + =
1
√
2
|ϕ 1 + |ϕ 2
=
1
√
2
1
1
(5.3)
|χ − =
1
√
2
|ϕ 1 −|ϕ 2
=
1
√
2
1
−1
(5.4)
avec
H|χ + =(E 0 − A)|χ +
H|χ − =(E 0 + A)|χ −
(5.5)
Comme A>0, l’état symétrique |χ + est l’état d’énergie la plus basse. Le
spectre du hamiltonien est donné sur la figure 5.3 : l’état fondamental est
l’état |χ + , d’énergie (E 0 − A). On peut donner une interprétation spatiale de
ces résultats en examinant la localisation de l’électron sur la droite joignant
les deux atomes de carbone prise comme axe des x, l’origine étant située au
milieu de cette droite. Comme nous le verrons en détail au chapitre 8, si |x est
un vecteur propre de l’opérateur position, la quantité x|ϕ 1 est l’amplitude de
probabilité pour trouver au point x l’électron dans l’état |ϕ 1 . Au chapitre 8,
cette amplitude de probabilité sera appelée la fonction d’onde de l’électron.
Le module au carré de cette amplitude de probabilité donne la probabilité
1
de
trouver l’électron au point x, aussi appelée probabilité de présence de l’électron
au point x. Cette interprétation permet de représenter qualitativement sur la
figure 5.4 les amplitudes de probabilité χ ± (x)=x|χ ± correspondant aux
états |χ ± . La probabilité de présence correspondante s’annule à l’origine dans
le cas antisymétrique |χ − , mais non dans le cas symétrique |χ + . Le caractère
symétrique ou antisymétrique de la fonction d’onde de l’état fondamental est
lié au signe de A. En pratique, un état fondamental est toujours symétrique,
ce qui correspond à A>0.
Il nous reste à placer le second électron : ceci se fera très simplement si
nous pouvons ignorer les interactions entre cet électron et le précédent, c’està-dire utiliser l’approximation des électrons indépendants. Pour obtenir l’état
1. Plus précisément, c’est une probabilité par unité de longueur : ||x|ϕ| 2 dx est la probabilité de trouver la particule dans l’intervalle [x, x + dx] : voir le § 8.1.2.