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Physique quantique : Fondements
où, sans perte de généralité, r ≥ s. Dans un premier temps, on se place
dans l’espace à deux dimensions sous-tendu par |ϕ et |χ.O nm o n t r e r aàl a
question 2 que cela ne restreint pas la généralité. Posant P = |ψψ, on écrit
|ϕ, |χ et |ψ sous la forme
|ϕ =
1
0
|χ =
cos
θ
2
sin
θ
2 e iφ
|ψ =
cos
α
2
sin
α
2 e iβ
et on choisit dans un premier temps φ = β =0.
1. Montrer que
2X − 1=r cos α − s cos(α − θ)
En cherchant le maximum de X par rapport à α,m o n t r e rq u e
sin α = −
sin θ
√
D
cos α =
r − s cos θ
√
D
D =1− 4rs cos
2 θ
2
En déduire le taux de succès maximum lorsque l’on cherche à faire la distinction entre |ϕ et |χ
p max =
1
2
1+
√
D
=
1
2
1+
1 − 4rs||ϕ|χ| 2
ce qui est la borne de Helstrom. En déduire que S = ||χ|ϕ| peut être considéré
comme une mesure quantitative de la discernabilité de |ϕ et |χ.
2. Montrer que le résultat n’est pas affecté si l’on tient compte des angles
φ et β, et qu’il reste aussi valable si l’on ne se restreint pas pour |ψ à l’espace
à deux dimensions sous-tendu par |ϕ et |χ.
4.4.9 Règle de Born généralisée
On considère un état à deux particules A et B (voir la section 11.1 pour
plus de détails sur ce type d’états appelés états intriqués)
|Ψ =
i,j
c ij |ϕ i ⊗ χ j
i =1, ··· ,N A
j =1, ··· ,N B
où |ϕ i (|χ j ) désigne un état de la particule A (B). On mesure le projecteur
P i0j0 = |ϕ i0 ⊗ χ j0 ϕ i0 ⊗ χ j0 |
Quelle est la probabilité de trouver P i0j0 =1? Supposons que l’on effectue
d’abord une mesure sur la particule B et qu’on la trouve dans l’état |χ j0 .
Montrer que le vecteur d’état de la particule A après cette mesure est
|ϕ =
1
p(j 0 )
i
c ij0 |ϕ i
p(j 0 )=
i
|c ij0 |
2
Physique quantique : Fondements
où, sans perte de généralité, r ≥ s. Dans un premier temps, on se place
dans l’espace à deux dimensions sous-tendu par |ϕ et |χ.O nm o n t r e r aàl a
question 2 que cela ne restreint pas la généralité. Posant P = |ψψ, on écrit
|ϕ, |χ et |ψ sous la forme
|ϕ =
1
0
|χ =
cos
θ
2
sin
θ
2 e iφ
|ψ =
cos
α
2
sin
α
2 e iβ
et on choisit dans un premier temps φ = β =0.
1. Montrer que
2X − 1=r cos α − s cos(α − θ)
En cherchant le maximum de X par rapport à α,m o n t r e rq u e
sin α = −
sin θ
√
D
cos α =
r − s cos θ
√
D
D =1− 4rs cos
2 θ
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En déduire le taux de succès maximum lorsque l’on cherche à faire la distinction entre |ϕ et |χ
p max =
1
2
1+
√
D
=
1
2
1+
1 − 4rs||ϕ|χ| 2
ce qui est la borne de Helstrom. En déduire que S = ||χ|ϕ| peut être considéré
comme une mesure quantitative de la discernabilité de |ϕ et |χ.
2. Montrer que le résultat n’est pas affecté si l’on tient compte des angles
φ et β, et qu’il reste aussi valable si l’on ne se restreint pas pour |ψ à l’espace
à deux dimensions sous-tendu par |ϕ et |χ.
4.4.9 Règle de Born généralisée
On considère un état à deux particules A et B (voir la section 11.1 pour
plus de détails sur ce type d’états appelés états intriqués)
|Ψ =
i,j
c ij |ϕ i ⊗ χ j
i =1, ··· ,N A
j =1, ··· ,N B
où |ϕ i (|χ j ) désigne un état de la particule A (B). On mesure le projecteur
P i0j0 = |ϕ i0 ⊗ χ j0 ϕ i0 ⊗ χ j0 |
Quelle est la probabilité de trouver P i0j0 =1? Supposons que l’on effectue
d’abord une mesure sur la particule B et qu’on la trouve dans l’état |χ j0 .
Montrer que le vecteur d’état de la particule A après cette mesure est
|ϕ =
1
p(j 0 )
i
c ij0 |ϕ i
p(j 0 )=
i
|c ij0 |
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