4. Postulats de la physique quantique
147
où ∆E = E 2 − E 1 . En déduire que la probabilité de trouver un neutrino ν e
au temps t est
p e (t)=1− sin
2 θ sin
2
∆Et
2
Ce phénomène de transformation est appelé oscillation neutrino.
3. Si p ≫≫mc est l’impulsion des neutrinos, montrer que
∆E =
(m
2
2 − m
2
1 )c
3
2p
=
∆m
2 c
3
2p
avec ∆m
2 = m
2
2 − m
2
1 .
4. En supposant qu’il existe une demi-oscillation sur le parcours SoleilTerre (c’est-à-dire ∆Et/ = π) pour des neutrinos de 8 MeV, quel est l’ordre
de propriété de la différence des masses carrées ∆m
2 ? La distance Terre-Soleil
est de 150 millions de kilomètres.
4.4.7 Points de vue de Schrödinger et de Heisenberg
Soit un opérateur hermitien A dépendant du temps dans le point de vue
de Schrödinger : A = A(t). Le hamiltonien H est aussi supposé dépendant du
temps. Montrer que
A H (t)=U
−1 (t, t 0 )A(t)U (t, t 0 )
vérifie
i
dA H
dt
=[A H (t),H H (t)] + i
∂A(t)
∂t
H
où H H (t) et (∂A/∂t) H sont obtenus à partir de H(t) et (∂A(t)/∂t) par la loi
de transformation utilisée pour A.
4.4.8 Borne de Helstrom
On prépare un grand nombre d’états quantiques |ϕ et |χ, l’état |ϕ avec
la probabilité r, l’état |χ avec la probabilité s =1− r. Un expérimentateur
effectue une mesure sur ces états avec l’objectif de distinguer les états |ϕ et
|χ. Le but de l’exercice est de déterminer la stratégie optimale pour effectuer
cette distinction et le taux de succès de cette stratégie. En plus de son intérêt
théorique, le résultat obtenu, la borne de Helstrom, a des application pratiques
en informatique quantique. Une autre façon d’aborder le problème est l’objet
de l’exercice 11.6.13.
Si les états |ϕ et |χ sont orthogonaux, il suffit de mesurer le projecteur
|ϕϕ| :s il er é s u l t a td el am e s u r ee st 1 (0), alors c’est l’état |ϕ (|χ)q u ia
été préparé. Dans le cas général, on cherche un projecteur P en décidant a
priori que P =1(P =0) correspond au résultat |ϕ (|χ). Ce projecteur doit
donc maximiser la quantité
X = rϕ|P|ϕ + sχ|P|χ
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où ∆E = E 2 − E 1 . En déduire que la probabilité de trouver un neutrino ν e
au temps t est
p e (t)=1− sin
2 θ sin
2
∆Et
2
Ce phénomène de transformation est appelé oscillation neutrino.
3. Si p ≫≫mc est l’impulsion des neutrinos, montrer que
∆E =
(m
2
2 − m
2
1 )c
3
2p
=
∆m
2 c
3
2p
avec ∆m
2 = m
2
2 − m
2
1 .
4. En supposant qu’il existe une demi-oscillation sur le parcours SoleilTerre (c’est-à-dire ∆Et/ = π) pour des neutrinos de 8 MeV, quel est l’ordre
de propriété de la différence des masses carrées ∆m
2 ? La distance Terre-Soleil
est de 150 millions de kilomètres.
4.4.7 Points de vue de Schrödinger et de Heisenberg
Soit un opérateur hermitien A dépendant du temps dans le point de vue
de Schrödinger : A = A(t). Le hamiltonien H est aussi supposé dépendant du
temps. Montrer que
A H (t)=U
−1 (t, t 0 )A(t)U (t, t 0 )
vérifie
i
dA H
dt
=[A H (t),H H (t)] + i
∂A(t)
∂t
H
où H H (t) et (∂A/∂t) H sont obtenus à partir de H(t) et (∂A(t)/∂t) par la loi
de transformation utilisée pour A.
4.4.8 Borne de Helstrom
On prépare un grand nombre d’états quantiques |ϕ et |χ, l’état |ϕ avec
la probabilité r, l’état |χ avec la probabilité s =1− r. Un expérimentateur
effectue une mesure sur ces états avec l’objectif de distinguer les états |ϕ et
|χ. Le but de l’exercice est de déterminer la stratégie optimale pour effectuer
cette distinction et le taux de succès de cette stratégie. En plus de son intérêt
théorique, le résultat obtenu, la borne de Helstrom, a des application pratiques
en informatique quantique. Une autre façon d’aborder le problème est l’objet
de l’exercice 11.6.13.
Si les états |ϕ et |χ sont orthogonaux, il suffit de mesurer le projecteur
|ϕϕ| :s il er é s u l t a td el am e s u r ee st 1 (0), alors c’est l’état |ϕ (|χ)q u ia
été préparé. Dans le cas général, on cherche un projecteur P en décidant a
priori que P =1(P =0) correspond au résultat |ϕ (|χ). Ce projecteur doit
donc maximiser la quantité
X = rϕ|P|ϕ + sχ|P|χ