4. Postulats de la physique quantique
145
où P = |ϕϕ| est le projecteur sur l’état initial. On se restreint d’abord à des
temps courts. Montrer que pour t → 0
p(t) ≃ 1 −
(∆H)
2
2 t
2 ,
de sorte que pour des temps très courts la loi de désintégration n’est certainement pas exponentielle. Les valeurs moyennes de H et H
2
sont calculées avec
|ϕ.Onremarqueque∆H doit être fini, sinon |ϕ n’appartiendrait pas au domaine de H
2
, ce qui serait dificile à imaginer physiquement (voir le chapitre 6
pour la définition du domaine d’un opérateur).
3. Un résultat plus général est obtenu comme suit. Montrer d’abord que
∆P
2 = PP − −PP
2
et utiliser la forme générale de l’inégalité de Heisenberg temporelle (4.27) pour
montrer l’inégalité
dp(t)
dt
≤
2∆H
p(1 − p) .
En intégrant cette équation différentielle, déduire
p(t) ≥ cos
2
t∆H
0 ≤ t ≤
π
2∆H
4.4.6 L’énigme des neutrinos solaires
Les réactions nucléaires à l’intérieur du Soleil produisent en abondance
des neutrinos électroniques ν e ; 95 % de ces neutrinos sont produits dans la
réaction
p + p →
2 H+e
+ + ν e
La Terre reçoit du Soleil 6.5 × 10
14 neutrinos par seconde et par m
2 . Depuis
une trentaine d’années, plusieurs expériences ont tenté de détecter ces neutrinos, mais toutes ces expériences concordent pour conclure que le flux de
neutrinos mesuré est seulement la moitié environ du flux calculé à partir du
modèle standard du Soleil. Or, ce modèle est considéré comme particulièrement fiable
20 , en particulier en raison des résultats récents de l’héliosismologie : les incertitudes sur le modèle solaire ne peuvent en aucun cas expliquer
ce “déficit en neutrinos solaires”. La combinaison de trois expériences (cf. la
note 4 du chapitre 1), a permis de montrer sans aucun doute possible que ce
déficit en neutrinos est dû à la transformation des neutrinos ν e en d’autres
sortes de neutrinos au cours de leur voyage entre le Soleil et la Terre : ces
expériences montrent que le flux total de neutrinos prévu par le modèle du
Soleil est correct, mais que c’est le flux de neutrinos électroniques qui est trop
faible. Nous allons faire une théorie simplifiée, mais qui donne l’essentiel de
la physique sous-jacente, en supposant
20. L’intérieur du Soleil est connu de façon bien plus précise que celui de la Terre !
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où P = |ϕϕ| est le projecteur sur l’état initial. On se restreint d’abord à des
temps courts. Montrer que pour t → 0
p(t) ≃ 1 −
(∆H)
2
2 t
2 ,
de sorte que pour des temps très courts la loi de désintégration n’est certainement pas exponentielle. Les valeurs moyennes de H et H
2
sont calculées avec
|ϕ.Onremarqueque∆H doit être fini, sinon |ϕ n’appartiendrait pas au domaine de H
2
, ce qui serait dificile à imaginer physiquement (voir le chapitre 6
pour la définition du domaine d’un opérateur).
3. Un résultat plus général est obtenu comme suit. Montrer d’abord que
∆P
2 = PP − −PP
2
et utiliser la forme générale de l’inégalité de Heisenberg temporelle (4.27) pour
montrer l’inégalité
dp(t)
dt
≤
2∆H
p(1 − p) .
En intégrant cette équation différentielle, déduire
p(t) ≥ cos
2
t∆H
0 ≤ t ≤
π
2∆H
4.4.6 L’énigme des neutrinos solaires
Les réactions nucléaires à l’intérieur du Soleil produisent en abondance
des neutrinos électroniques ν e ; 95 % de ces neutrinos sont produits dans la
réaction
p + p →
2 H+e
+ + ν e
La Terre reçoit du Soleil 6.5 × 10
14 neutrinos par seconde et par m
2 . Depuis
une trentaine d’années, plusieurs expériences ont tenté de détecter ces neutrinos, mais toutes ces expériences concordent pour conclure que le flux de
neutrinos mesuré est seulement la moitié environ du flux calculé à partir du
modèle standard du Soleil. Or, ce modèle est considéré comme particulièrement fiable
20 , en particulier en raison des résultats récents de l’héliosismologie : les incertitudes sur le modèle solaire ne peuvent en aucun cas expliquer
ce “déficit en neutrinos solaires”. La combinaison de trois expériences (cf. la
note 4 du chapitre 1), a permis de montrer sans aucun doute possible que ce
déficit en neutrinos est dû à la transformation des neutrinos ν e en d’autres
sortes de neutrinos au cours de leur voyage entre le Soleil et la Terre : ces
expériences montrent que le flux total de neutrinos prévu par le modèle du
Soleil est correct, mais que c’est le flux de neutrinos électroniques qui est trop
faible. Nous allons faire une théorie simplifiée, mais qui donne l’essentiel de
la physique sous-jacente, en supposant
20. L’intérieur du Soleil est connu de façon bien plus précise que celui de la Terre !