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Physique quantique : Fondements
avec Ω=2
√
A 2 + B 2 : Ω est la différence d’énergie entre les deux niveaux.
En déduire que c + (t) ( d em ê m eq u ec − (t)) vérifie l’équation différentielle
¨
c + (t)+
Ω
2
2
c + (t)=0
3. On suppose que c + (0) = 0. En déduire λ et µ à une phase près ainsi
que c + (t). Montrer que la probabilité de trouver le système au temps t dans
l’état |+ est
p + (t)=sin
2 θ sin
2
Ωt
2
=
B
2
A 2 + B 2 sin
2
Ωt
2
4. Montrer que si c + (t =0)=1alors
c + (t)=cos
Ωt
2
− i cos θ sin
Ωt
2
En déduire p + (t) et p − (t), et vérifier la compatibilité du résultat avec celui
de la question précédente.
4.4.5 Inégalités de Heisenberg temporelles
1. Supposons qu’il existe un opérateur hermitien T obéissant à [T,H]=
iI. En examinant l’état
|Ψ = He
iαT |E
où |E e s tu né t a tp r o p r ed eH, H|E = E|E, montrer que le spectre de H
ne serait pas borné inférieurement.
2. Soit |ϕ le vecteur d’état au temps t =0d’une particule instable, et
soit p(t) sa probabilité de survie, c’est-à-dire la probabilité que cette particule
ne soit pas désintégrée au temps t. La particule est supposée isolée de toute
influence extérieure (mais pas des champs quantifiés), de sorte que le hamiltonien H qui régit la désintégration est indépendant du temps. Soit |ψ(t) le
vecteur d’état au temps t de l’ensemble particule + champs quantifiés
|ψ(t) =exp
−
iHt
|ϕ
L’amplitude de probabilité pour trouver le système quantique au temps t
dans |ϕ est
c(t)=ϕ|ψ(t) = ϕ
exp
−
iHt
ϕ
et la probabilité de survie est
p(t)=|c(t)|
2 = |ψ(t)|ϕ|
2 = ψ(t)|P|ψ(t) ,