4. Postulats de la physique quantique
143
4.4.3 Théorème de Feynman-Hellmann
Soit un hamiltonien H dépendant d’un paramètre λ : H = H(λ), E(λ)
une valeur propre simple et |ϕ(λ) le vecteur propre normalisé (||ϕ(λ)||
2 =1)
correspondant
H(λ)|ϕ(λ) = E(λ)|ϕ(λ)
Montrer le théorème de Feynman-Hellmann
∂E
∂λ
= ϕ(λ)
∂H
∂λ
ϕ(λ)
(4.49)
4.4.4 Évolution temporelle d’un système à deux niveaux
On considère un système à deux niveaux de hamiltonien H représenté par
la matrice
H =
AB
B −A
dans la base
|+ =
1
0
|−− =
0
1
D’après (2.35), les valeurs propres et vecteurs propres de H sont
E + =
A 2 + B 2
|χ + =cos
θ
2
|+ +sin
θ
2
|−−
E − = −
A 2 + B 2
|χ − = − sin
θ
2
|+ +cos
θ
2
|−−
avec
A =
A 2 + B 2 cos θB =
A 2 + B 2 sin θ
tan θ =
B
A
1. Le vecteur d’état |ϕ(t) au temps t peut se décomposer sur la base
{|+, |−−}
|ϕ(t) = c + (t)|+ + c − (t)|−−
Écrire le système d’équations différentielles couplées auquel obéissent les composantes c + (t) et c − (t).
2. On décompose |ϕ(t =0) sur la base {|χ + , |χ − }
|ϕ(t =0) = |ϕ(0) = λ|χ + + µ|χ − | λ|
2 + |µ|
2 =1
Montrer que c + (t)=+|ϕ(t) s’écrit
c + (t)=λ e
−iΩt/2 cos
θ
2
− µ e
iΩt/2 sin
θ
2