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Physique quantique : Fondements
mention explicite du contraire − par des lettres majuscules : hamiltonien H,
position
R, impulsion
P , moment angulaire
J... Les valeurs propres seront
désignées par les lettres minuscules correspondantes : r, ,
p, , j..., à l’exception
du cas de l’énergie, où les valeurs propres de H seront notées E.
4.4 Exercices
4.4.1 Dispersion et vecteurs propres
Montrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour que |ϕ soit vecteur
propre d’un opérateur hermitique A est que la dispersion (4.8) ∆ ϕ A =0.
4.4.2 Méthode variationnelle
1. Soit |ϕ un vecteur (non normalisé) de l’espace de Hilbert des états et
un hamiltonien H. La valeur moyenne H ϕ est
H ϕ =
ϕ|H|ϕ
ϕ|ϕ
Montrer que si le minimum de cette valeur moyenne est obtenu pour |ϕ =
|ϕ m et le maximum pour |ϕ = |ϕ M ,a l o r s
H|ϕ m = E m |ϕ m et H|ϕ M = E M |ϕ M
où E m et E M sont la plus petite et la plus grande valeur propre.
2. On suppose que le vecteur |ϕ dépend d’un paramètre α : |ϕ = |ϕ(α).
Montrer que si
∂H ϕ(α)
∂α
α=α0
=0
alors E m ≤≤H ϕ(α0) si α 0 correspond à un minimum de H ϕ(α) et H ϕ(α0) ≤
E M si α 0 correspond à un maximum. Ce résultat est à la base d’une méthode
d’approximation appelée méthode variationnelle (§ 15.1.4).
3. Si H agit dans un espace à deux dimensions, sa forme la plus générale
est
H =
a + cb
ba − c
où b peut toujours être choisi réel. En paramétrant |ϕ(α) sous la forme
|ϕ(α) =
cos α/2
sin α/2
trouver les valeurs de α 0 en cherchant les extrema de ϕ(α)|H|ϕ(α).R e t r o u -
ver ainsi (2.35).
Physique quantique : Fondements
mention explicite du contraire − par des lettres majuscules : hamiltonien H,
position
R, impulsion
P , moment angulaire
J... Les valeurs propres seront
désignées par les lettres minuscules correspondantes : r, ,
p, , j..., à l’exception
du cas de l’énergie, où les valeurs propres de H seront notées E.
4.4 Exercices
4.4.1 Dispersion et vecteurs propres
Montrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour que |ϕ soit vecteur
propre d’un opérateur hermitique A est que la dispersion (4.8) ∆ ϕ A =0.
4.4.2 Méthode variationnelle
1. Soit |ϕ un vecteur (non normalisé) de l’espace de Hilbert des états et
un hamiltonien H. La valeur moyenne H ϕ est
H ϕ =
ϕ|H|ϕ
ϕ|ϕ
Montrer que si le minimum de cette valeur moyenne est obtenu pour |ϕ =
|ϕ m et le maximum pour |ϕ = |ϕ M ,a l o r s
H|ϕ m = E m |ϕ m et H|ϕ M = E M |ϕ M
où E m et E M sont la plus petite et la plus grande valeur propre.
2. On suppose que le vecteur |ϕ dépend d’un paramètre α : |ϕ = |ϕ(α).
Montrer que si
∂H ϕ(α)
∂α
α=α0
=0
alors E m ≤≤H ϕ(α0) si α 0 correspond à un minimum de H ϕ(α) et H ϕ(α0) ≤
E M si α 0 correspond à un maximum. Ce résultat est à la base d’une méthode
d’approximation appelée méthode variationnelle (§ 15.1.4).
3. Si H agit dans un espace à deux dimensions, sa forme la plus générale
est
H =
a + cb
ba − c
où b peut toujours être choisi réel. En paramétrant |ϕ(α) sous la forme
|ϕ(α) =
cos α/2
sin α/2
trouver les valeurs de α 0 en cherchant les extrema de ϕ(α)|H|ϕ(α).R e t r o u -
ver ainsi (2.35).