4. Postulats de la physique quantique
141
grâce à la masse réduite. Il faut bien comprendre que (4.45) et (4.46) représentent un choix pour l’espace des états et le hamiltonien, et que des approximations ont été faites. On a négligé en particulier les effets relativistes, et les
choses se compliquent dès que l’on en tient compte. Il est à la rigueur possible
dans un premier temps de généraliser l’expression du hamiltonien (équation
de Dirac : chapitre 19), mais une véritable théorie quantique et relativiste
implique que l’on introduise un champ électron-positron et un champ électromagnétique quantifiés : c’est ce que l’on appelle l’électrodynamique quantique.
Dans ces conditions, le principe de correspondance sous la forme (4.45) n’est
plus valable
19 : en fait, il n’y a même plus d’opérateur position ! Et l’électrodynamique quantique n’est elle-même qu’une approximation d’une théorie
plus vaste... Il faut donc soigneusement distinguer les principes fondamentaux des approximations nécessaires pour aborder tout problème physique
concret. Comme le souligne Isham [1995], la procédure standard qui consite
à “quantifier une théorie classique” en utilisant le principe de correspondance
n’a qu’une valeur heuristique, et en fin de compte les approximations reposant
sur ce principe ou toute autre démarche heuristique doivent être validées par
la confrontation aux résultats expérimentaux.
Pour conclure, donnons la forme générale du principe de correspondance :
en mécanique analytique, on définit pour un système à N degrés de liberté
un hamiltonien H cl (q i ,p i ), supposé indépendant du temps pour simplifier,
i =1, 2, ..., N. Les équations de Hamilton sont
∂H cl
dq i
= − ˙
p i
∂H cl
dp i
=˙ q i
(4.47)
Les variables q i et p i sont dites canoniquement conjuguées. Le principe de correspondance consiste à associer aux variables classiques q i et p i des opérateurs
Q i et P i
q i → Q i
p i → P i
obéissant aux relations de commutation canoniques (RCC)
[Q i ,P j ]=iδ ij I
(4.48)
Cependant, cette procédure n’est pas exempte d’ambiguïtés, car l’ordre des variables classiques (q i ,p i ) est indifférent, mais pas celui des opérateurs (Q i ,P i ).
Nous avons, jusqu’à présent, utilisé des notations différentes pour une
propriété physique A et l’opérateur hermitien associé A. Nous abandonnons
désormais cette distinction, et confondons les notations pour la propriété physique et l’opérateur correspondant, qui seront représentés tous deux − sauf
19. Il est remplacé par des relations de commutation canoniques entre les champs et leurs
moments conjugués, ce qui conduit à des objets mathématiques complexes, les distributions
à valeurs opérateur. Toutefois, il reste encore un tel chemin à parcourir (invariance de jauge,
renormalisation) avant de calculer une quantité physique que ce principe de correspondance
apparaît un peu accessoire, et il est d’ailleurs remplacé en pratique par l’approche des
intégrales de chemin de Feynman (§ 12.2.3).
141
grâce à la masse réduite. Il faut bien comprendre que (4.45) et (4.46) représentent un choix pour l’espace des états et le hamiltonien, et que des approximations ont été faites. On a négligé en particulier les effets relativistes, et les
choses se compliquent dès que l’on en tient compte. Il est à la rigueur possible
dans un premier temps de généraliser l’expression du hamiltonien (équation
de Dirac : chapitre 19), mais une véritable théorie quantique et relativiste
implique que l’on introduise un champ électron-positron et un champ électromagnétique quantifiés : c’est ce que l’on appelle l’électrodynamique quantique.
Dans ces conditions, le principe de correspondance sous la forme (4.45) n’est
plus valable
19 : en fait, il n’y a même plus d’opérateur position ! Et l’électrodynamique quantique n’est elle-même qu’une approximation d’une théorie
plus vaste... Il faut donc soigneusement distinguer les principes fondamentaux des approximations nécessaires pour aborder tout problème physique
concret. Comme le souligne Isham [1995], la procédure standard qui consite
à “quantifier une théorie classique” en utilisant le principe de correspondance
n’a qu’une valeur heuristique, et en fin de compte les approximations reposant
sur ce principe ou toute autre démarche heuristique doivent être validées par
la confrontation aux résultats expérimentaux.
Pour conclure, donnons la forme générale du principe de correspondance :
en mécanique analytique, on définit pour un système à N degrés de liberté
un hamiltonien H cl (q i ,p i ), supposé indépendant du temps pour simplifier,
i =1, 2, ..., N. Les équations de Hamilton sont
∂H cl
dq i
= − ˙
p i
∂H cl
dp i
=˙ q i
(4.47)
Les variables q i et p i sont dites canoniquement conjuguées. Le principe de correspondance consiste à associer aux variables classiques q i et p i des opérateurs
Q i et P i
q i → Q i
p i → P i
obéissant aux relations de commutation canoniques (RCC)
[Q i ,P j ]=iδ ij I
(4.48)
Cependant, cette procédure n’est pas exempte d’ambiguïtés, car l’ordre des variables classiques (q i ,p i ) est indifférent, mais pas celui des opérateurs (Q i ,P i ).
Nous avons, jusqu’à présent, utilisé des notations différentes pour une
propriété physique A et l’opérateur hermitien associé A. Nous abandonnons
désormais cette distinction, et confondons les notations pour la propriété physique et l’opérateur correspondant, qui seront représentés tous deux − sauf
19. Il est remplacé par des relations de commutation canoniques entre les champs et leurs
moments conjugués, ce qui conduit à des objets mathématiques complexes, les distributions
à valeurs opérateur. Toutefois, il reste encore un tel chemin à parcourir (invariance de jauge,
renormalisation) avant de calculer une quantité physique que ce principe de correspondance
apparaît un peu accessoire, et il est d’ailleurs remplacé en pratique par l’approche des
intégrales de chemin de Feynman (§ 12.2.3).