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Physique quantique : Fondements
qui est principe fondamental. Par exemple, ainsi que nous allons le montrer
dans un instant, l’espace des états est toujours au départ de dimension infinie, mais il peut arriver qu’il soit possible de se placer de façon approchée
dans un espace des états de dimension finie, qui peut même éventuellement
être petite ; la dimension N de cet espace est appelée le nombre de niveaux
de l’approximation. Nous en avons vu un exemple dans l’étude du spin 1/2 :
en première approximation, les degrés de liberté de spin sont découplés des
degrés de liberté d’espace, et c’est ce qui nous a permis de nous placer dans
un espace à deux dimensions en ignorant les degrés de liberté spatiaux. Un
autre exemple est celui de l’atome à deux niveaux, modèle standard de la
physique atomique : lorsque l’on s’intéresse à l’interaction d’un atome avec
un champ électromagnétique de fréquence ω, en pratique le champ d’un laser,
et si deux niveaux d’énergie sont espacés de ω 0 ≃ ω, on peut se restreindre à
ces deux niveaux d’énergie formant une base pour un espace des états à deux
dimensions, et écrire un hamiltonien approché d’interaction avec le champ
laser agissant dans cet espace : cf. les § 5.4 et § 15.3.1. Cette approche fournit une excellente approximation pour l’interaction laser-atome, approche qui
peut être facilement raffinée, par exemple s’il faut tenir compte des effets du
spin des niveaux.
Malheureusement, la situation n’est pas toujours aussi simple. Nous allons
le voir dans le cas des degrés de liberté spatiaux, que l’on peut traiter en
s’appuyant sur le principe de correspondance. Selon ce principe, les propriétés
physiques position et impulsion sont des opérateurs hermitiens
R et
P ,d e
composantes X i et P j , i, j =(x, y, z), qui vérifient les relations de commutation dites relations de commutation canoniques
[X i ,P j ]=iδ ij I
(4.45)
Prenant la trace des deux membres, on observe qu’il est impossible que ces
relations soient satisfaites dans un espace de dimension finie : en effet la trace
du membre de gauche est nulle (la trace d’un commutateur est nulle), tandis
que celle du membre de droite est iN ,o ùN est la dimension de H.U n e
fois cette difficulté identifiée, la suite de la procédure (qui n’est pas toujours
exempte d’ambiguïtés) consiste à remplacer dans l’expression classique de
l’énergie E les positions et les impulsions classiques r et
p par les opérateurs
R et
P pour obtenir le hamiltonien quantique d’une particule de masse m
dont l’énergie potentielle est V ( r). Le principe de correspondance conduit au
passage suivant E → H
E =
p
2
2m
+ V ( r) → H =
P
2
2m
+ V (
R)
(4.46)
Dans le cas de l’atome d’hydrogène, (4.46) fournit une très bonne approximation si l’on prend pour V ( r) le potentiel coulombien (1.3) et pour espace des
états celui de l’électron. L’effet de la masse finie du proton est pris en compte
Physique quantique : Fondements
qui est principe fondamental. Par exemple, ainsi que nous allons le montrer
dans un instant, l’espace des états est toujours au départ de dimension infinie, mais il peut arriver qu’il soit possible de se placer de façon approchée
dans un espace des états de dimension finie, qui peut même éventuellement
être petite ; la dimension N de cet espace est appelée le nombre de niveaux
de l’approximation. Nous en avons vu un exemple dans l’étude du spin 1/2 :
en première approximation, les degrés de liberté de spin sont découplés des
degrés de liberté d’espace, et c’est ce qui nous a permis de nous placer dans
un espace à deux dimensions en ignorant les degrés de liberté spatiaux. Un
autre exemple est celui de l’atome à deux niveaux, modèle standard de la
physique atomique : lorsque l’on s’intéresse à l’interaction d’un atome avec
un champ électromagnétique de fréquence ω, en pratique le champ d’un laser,
et si deux niveaux d’énergie sont espacés de ω 0 ≃ ω, on peut se restreindre à
ces deux niveaux d’énergie formant une base pour un espace des états à deux
dimensions, et écrire un hamiltonien approché d’interaction avec le champ
laser agissant dans cet espace : cf. les § 5.4 et § 15.3.1. Cette approche fournit une excellente approximation pour l’interaction laser-atome, approche qui
peut être facilement raffinée, par exemple s’il faut tenir compte des effets du
spin des niveaux.
Malheureusement, la situation n’est pas toujours aussi simple. Nous allons
le voir dans le cas des degrés de liberté spatiaux, que l’on peut traiter en
s’appuyant sur le principe de correspondance. Selon ce principe, les propriétés
physiques position et impulsion sont des opérateurs hermitiens
R et
P ,d e
composantes X i et P j , i, j =(x, y, z), qui vérifient les relations de commutation dites relations de commutation canoniques
[X i ,P j ]=iδ ij I
(4.45)
Prenant la trace des deux membres, on observe qu’il est impossible que ces
relations soient satisfaites dans un espace de dimension finie : en effet la trace
du membre de gauche est nulle (la trace d’un commutateur est nulle), tandis
que celle du membre de droite est iN ,o ùN est la dimension de H.U n e
fois cette difficulté identifiée, la suite de la procédure (qui n’est pas toujours
exempte d’ambiguïtés) consiste à remplacer dans l’expression classique de
l’énergie E les positions et les impulsions classiques r et
p par les opérateurs
R et
P pour obtenir le hamiltonien quantique d’une particule de masse m
dont l’énergie potentielle est V ( r). Le principe de correspondance conduit au
passage suivant E → H
E =
p
2
2m
+ V ( r) → H =
P
2
2m
+ V (
R)
(4.46)
Dans le cas de l’atome d’hydrogène, (4.46) fournit une très bonne approximation si l’on prend pour V ( r) le potentiel coulombien (1.3) et pour espace des
états celui de l’électron. L’effet de la masse finie du proton est pris en compte