4. Postulats de la physique quantique
139
La dépendance par rapport au temps est intégrée dans l’opérateur, tandis que
le vecteur d’état est indépendant de t.
Un point de vue intermédiaire entre celui de Schrödinger et celui de Heisenberg est le point de vue de l’interaction (ou de Dirac). Ce point de vue est
utile lorsqu’il est naturel de décomposer le hamiltonien H en un “hamiltonien
libre” H 0 indépendant du temps, que l’on sait diagonaliser, et un hamiltonien
d’interaction W (t). L’objectif est de se débarrasser de l’évolution connue de
H 0 . On définit le vecteur d’état | ˜
ϕ(t) dans le point de vue de l’interaction
par
| ˜
ϕ(t) = e
iH0t/ |ϕ(t)| ˜
ϕ(t =0) = |ϕ(t =0)
(4.40)
Nous avons choisi t 0 =0afin d’alléger les notations ; le point de vue de l’interaction coïncide avec celui de Heisenberg si W =0. L’opérateur d’évolution
U (t)=U (t, 0) vérifie
i
dU
dt
=[H 0 + W (t)]U (t)
(4.41)
et on écrit
U (t)=U 0 (t) ˜
U (t)
U 0 (t)=e
−iH0t/
(4.42)
˜
U(t) est l’opérateur d’évolution dans le point de vue de l’interaction. L’équation (4.41) devient
i
dU 0
dt
˜
U + U 0
d ˜
U
dt
=[H 0 + W (t)]U 0 (t) ˜
U (t)
(4.43)
Les deux premiers termes de chaque membre de (4.43) se compensent, et il
reste
i
d ˜
U
dt
=
e
iH0t/ W (t) e
−iH0t/
˜
U (t)= ˜
W (t) ˜
U (t)
˜
W (t)=e
iH0t/ W (t) e
−iH0t/
(4.44)
Les équations (4.44) donnent l’évolution dans le point de vue de l’interaction.
4.3 Approximations et modélisation
Nous avons énoncé ci-dessus les principes généraux qui fixent le cadre universel de la théorie quantique. Cela ne veut pas dire que nous sommes prêts
à aborder immédiatement un problème physique ! En effet, pour aborder un
problème concret, par exemple celui du calcul des niveaux d’énergie de l’atome
d’hydrogène, nous avons besoin de fixer l’espace des états et le hamiltonien
appropriés selon le degré de précision avec lequel nous souhaitons résoudre le
problème. Le choix d’un espace des états et d’un hamiltonien implique toujours que l’on se place dans le cadre d’une certaine approximation, et il ne
faut surtout pas confondre ce qui est approximation (ou modélisation) et ce
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La dépendance par rapport au temps est intégrée dans l’opérateur, tandis que
le vecteur d’état est indépendant de t.
Un point de vue intermédiaire entre celui de Schrödinger et celui de Heisenberg est le point de vue de l’interaction (ou de Dirac). Ce point de vue est
utile lorsqu’il est naturel de décomposer le hamiltonien H en un “hamiltonien
libre” H 0 indépendant du temps, que l’on sait diagonaliser, et un hamiltonien
d’interaction W (t). L’objectif est de se débarrasser de l’évolution connue de
H 0 . On définit le vecteur d’état | ˜
ϕ(t) dans le point de vue de l’interaction
par
| ˜
ϕ(t) = e
iH0t/ |ϕ(t)| ˜
ϕ(t =0) = |ϕ(t =0)
(4.40)
Nous avons choisi t 0 =0afin d’alléger les notations ; le point de vue de l’interaction coïncide avec celui de Heisenberg si W =0. L’opérateur d’évolution
U (t)=U (t, 0) vérifie
i
dU
dt
=[H 0 + W (t)]U (t)
(4.41)
et on écrit
U (t)=U 0 (t) ˜
U (t)
U 0 (t)=e
−iH0t/
(4.42)
˜
U(t) est l’opérateur d’évolution dans le point de vue de l’interaction. L’équation (4.41) devient
i
dU 0
dt
˜
U + U 0
d ˜
U
dt
=[H 0 + W (t)]U 0 (t) ˜
U (t)
(4.43)
Les deux premiers termes de chaque membre de (4.43) se compensent, et il
reste
i
d ˜
U
dt
=
e
iH0t/ W (t) e
−iH0t/
˜
U (t)= ˜
W (t) ˜
U (t)
˜
W (t)=e
iH0t/ W (t) e
−iH0t/
(4.44)
Les équations (4.44) donnent l’évolution dans le point de vue de l’interaction.
4.3 Approximations et modélisation
Nous avons énoncé ci-dessus les principes généraux qui fixent le cadre universel de la théorie quantique. Cela ne veut pas dire que nous sommes prêts
à aborder immédiatement un problème physique ! En effet, pour aborder un
problème concret, par exemple celui du calcul des niveaux d’énergie de l’atome
d’hydrogène, nous avons besoin de fixer l’espace des états et le hamiltonien
appropriés selon le degré de précision avec lequel nous souhaitons résoudre le
problème. Le choix d’un espace des états et d’un hamiltonien implique toujours que l’on se place dans le cadre d’une certaine approximation, et il ne
faut surtout pas confondre ce qui est approximation (ou modélisation) et ce