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Physique quantique : Fondements
Soit |n une base d’états propres de H, H|n = E n |n ;o nn o t eq u e|ϕ n’est
pas un tel état propre, car il n’est pas stationnaire. La probabilité p(t) de
trouver l’atome au temps t dans son état excité, ou probabilité de survie,e s t
p(t)=|c(t)|
2 = |ϕ|ψ(t)|
2 = |ϕ| e
−iHt/ |ϕ|
2
(4.31)
Il est possible de montrer (exercice 4.4.5) l’inégalité suivante
p(t) ≥ cos
2
t∆H
0 ≤ t ≤
π
2∆H
(4.32)
où ∆H =(H
2 −−H
2 )
1/2
est la dispersion de H calculée dans l’état |ϕ.Pour
des raisons que nous verrons dans un instant, cette inégalité n’est pas très utile
en pratique. En insérant dans (4.31) la relation de fermeture
|nn| = I,
on obtient pour l’amplitude de probabilité c(t)
c(t)=
n
||ϕ|n|
2 e
−iEnt/
Soit w(E) la tranformée de Fourier de c(t), ou fonction spectrale
w(E)=
dt
2π
e
iEt/ c(t)=
n
dt
2π
e
i(E−En)t/ ||ϕ|n|
2
=
n
||ϕ|n|
2 δ(E − E n )
(4.33)
On remarque que la fonction spectrale w(E) est positive : w(E) ≥ 0.I le s t
immédiat de calculer les valeurs moyennes de H et de H
2
H =
n
E n ||ϕ|n|
2 =
dEEw(E)
H
2 =
n
E
2
n ||ϕ|n|
2 =
dEE
2 w(E)
(4.34)
L’approximation de Wigner et Weisskopf (annexe B) montre qu’une forme
approchée de w(E) est
w(E)=
Γ
2π
1
(E − E 0 ) 2 + 2 Γ 2 /4
(4.35)
de sorte que, par transformée de Fourier inverse,
c(t)=e
−iE0t/
e
−Γt/2
(4.36)
et la probabilité de survie
p(t)=|c(t)|
2 e
−Γt
(4.37)