134
Physique quantique : Fondements
τ ϕ (A) est le temps caractéristique nécessaire pour que la valeur moyenne de
A varie de ∆ ϕ A, c’est-à-dire d’une quantité de l’ordre de la dispersion. L’inégalité précédente devient
∆ ϕ Hτ ϕ (A) ≥
1
2
(4.27)
ce qui est la forme rigoureuse de l’inégalité de Heisenberg temporelle. Cette
inégalité est souvent écrite sous la forme
∆E ∆t > ∼
1
2
(4.28)
∆E représente la dispersion en énergie et ∆t un temps caractéristique d’évolution
15
. La valeur de l’énergie ne peut être exactement fixée que si la dispersion
∆E est nulle, ce qui implique que le temps caractéristique doit être infini. Ceci
n’est possible que si l’état du système est un état stationnaire. C’est le cas
par exemple pour une particule élémentaire stable ou un atome dans son
état fondamental, en l’absence de perturbations extérieures. En revanche, un
atome porté dans un état excité n’est pas dans un état stationnaire. En raison de son couplage avec les fluctuations du vide du champ électromagnétique
(cf. le § 17.3.4), il émet un photon au bout d’un temps moyen τ ,a p p e l évie
moyenne de l’état excité (cf. le § 1.5.3). L’énergie du photon final présente une
dispersion en énergie ∆E, qui est appelée largeur de raie et est souvent notée
Γ. Nous verrons ci-dessous que ∆E (ou Γ)e tτ sont reliés par une relation
qui rappelle l’inégalité de Heisenberg temporelle (4.28), mais qui, en fait, est
d’origine différente
τ ∆E ≃ ou τ Γ ≃ 1
(4.29)
Donnons un ordre de grandeur typique de vie moyenne en physique atomique,
en prenant comme exemple le premier niveau excité de l’atome de rubidium ;
l’atome dans cet état excité revient à son état fondamental en émettant un
photon de longueur d’onde λ =0 .78 µm, ce qui correspond à une énergie
ε =1 .6 eV. La largeur de raie est Γ=2 .4 × 10
−8
eV, et la vie moyenne
τ ≃ 1/Γ=2 .7 × 10
−8
s. La dispersion sur l’énergie de l’état excité est donc
très faible par rapport à la différence d’énergie avec le niveau fondamental :
Γ/ε ≃ 10
−8 , ce qui entraîne que l’énergie du niveau excité est définie avec
une précision excellente. La relation (4.29) se généralise à toute désintégration
de particules, par exemple la désintégration à deux corps C → A + B.
Il ne faudrait surtout pas conclure de (4.28) que l’on ne peut pas mesurer l’énergie avec une précision meilleure que ∆E. Considérons par exemple
l’énergie E du boson Z
0 , vecteur de l’interaction faible (cf. § 1.1.4) dans son
15. L’inégalité ∆E ∆t > ∼ a un statut différent de (4.10) dans la mesure où t n’est pas
un opérateur (exercice 4.4.5). ∆t est souvent interprété incorrectement comme le temps
nécessaire à la mesure de l’énergie.
Physique quantique : Fondements
τ ϕ (A) est le temps caractéristique nécessaire pour que la valeur moyenne de
A varie de ∆ ϕ A, c’est-à-dire d’une quantité de l’ordre de la dispersion. L’inégalité précédente devient
∆ ϕ Hτ ϕ (A) ≥
1
2
(4.27)
ce qui est la forme rigoureuse de l’inégalité de Heisenberg temporelle. Cette
inégalité est souvent écrite sous la forme
∆E ∆t > ∼
1
2
(4.28)
∆E représente la dispersion en énergie et ∆t un temps caractéristique d’évolution
15
. La valeur de l’énergie ne peut être exactement fixée que si la dispersion
∆E est nulle, ce qui implique que le temps caractéristique doit être infini. Ceci
n’est possible que si l’état du système est un état stationnaire. C’est le cas
par exemple pour une particule élémentaire stable ou un atome dans son
état fondamental, en l’absence de perturbations extérieures. En revanche, un
atome porté dans un état excité n’est pas dans un état stationnaire. En raison de son couplage avec les fluctuations du vide du champ électromagnétique
(cf. le § 17.3.4), il émet un photon au bout d’un temps moyen τ ,a p p e l évie
moyenne de l’état excité (cf. le § 1.5.3). L’énergie du photon final présente une
dispersion en énergie ∆E, qui est appelée largeur de raie et est souvent notée
Γ. Nous verrons ci-dessous que ∆E (ou Γ)e tτ sont reliés par une relation
qui rappelle l’inégalité de Heisenberg temporelle (4.28), mais qui, en fait, est
d’origine différente
τ ∆E ≃ ou τ Γ ≃ 1
(4.29)
Donnons un ordre de grandeur typique de vie moyenne en physique atomique,
en prenant comme exemple le premier niveau excité de l’atome de rubidium ;
l’atome dans cet état excité revient à son état fondamental en émettant un
photon de longueur d’onde λ =0 .78 µm, ce qui correspond à une énergie
ε =1 .6 eV. La largeur de raie est Γ=2 .4 × 10
−8
eV, et la vie moyenne
τ ≃ 1/Γ=2 .7 × 10
−8
s. La dispersion sur l’énergie de l’état excité est donc
très faible par rapport à la différence d’énergie avec le niveau fondamental :
Γ/ε ≃ 10
−8 , ce qui entraîne que l’énergie du niveau excité est définie avec
une précision excellente. La relation (4.29) se généralise à toute désintégration
de particules, par exemple la désintégration à deux corps C → A + B.
Il ne faudrait surtout pas conclure de (4.28) que l’on ne peut pas mesurer l’énergie avec une précision meilleure que ∆E. Considérons par exemple
l’énergie E du boson Z
0 , vecteur de l’interaction faible (cf. § 1.1.4) dans son
15. L’inégalité ∆E ∆t > ∼ a un statut différent de (4.10) dans la mesure où t n’est pas
un opérateur (exercice 4.4.5). ∆t est souvent interprété incorrectement comme le temps
nécessaire à la mesure de l’énergie.