4. Postulats de la physique quantique
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Pour cette raison, un état propre de H est appelé état stationnaire.
Il est parfois utile d’écrire la loi d’évolution temporelle sous forme de composantes. Écrivons la décomposition d’un vecteur d’état arbitraire |ϕ(t 0 ) au
temps t = t 0 sur la base {|n, r} des vecteurs propres de H
|ϕ(t 0 ) =
n,r
c nr (t 0 )|n, r
c nr (t 0 )=n, r|ϕ(t 0 )
Nous avons alors
|ϕ(t) =
n,r
c nr (t 0 )exp
−
i(t − t 0 )
H
|n, r
=
n,r
c nr (t 0 )exp
−
i
E n (t − t 0 )
|n, r
ce qui donne la variation des coefficients c nr en fonction de t
c nr (t)=exp
−
i
E n (t − t 0 )
c nr (t 0 )
(4.25)
4.2.4 Inégalité de Heisenberg temporelle
Au § 3.2.5, nous avons donné une explication élémentaire de la relation
entre un temps caractéristique d’évolution ∆t et une dispersion sur l’énergie ∆E. Établissons maintenant de façon générale une inégalité sur le produit ∆E ∆t,oui n é g a l i t éd eH e i s e n b e r gt e m p o r e ll e . Nous allons d’abord écrire
l’équation d’évolution de la valeur moyenne A ϕ (t)=ϕ(t)|A|ϕ(t) de l’opérateur A représentant la propriété physique A, supposée indépendante du
temps
d
dt
ϕ(t)|A|ϕ(t) =
1
i
[−−ϕ(t)|HA|ϕ(t) + ϕ(t)|AH|ϕ(t)]
=
1
i
ϕ(t)|AH − HA|ϕ(t)
ce qui donne le théorème d’Ehrenfest
d
dt
A ϕ (t)=
1
i
ϕ(t)|[A, H]|ϕ(t) =
1
i
[A, H] ϕ
(4.26)
Utilisons maintenant la relation (4.10), en remplaçant B par H
∆ ϕ H ∆ ϕ A ≥
1
2
||[A, H] ϕ | =
1
2
d
dt
A ϕ (t)
et définissons le temps τ ϕ (A) par
1
τ ϕ (A)
=
dA ϕ (t)
dt
1
∆ ϕ A