132
Physique quantique : Fondements
choix de t 0 est arbitraire. Naturellement, il peut parfaitement arriver que le
hamiltonien soit indépendant du temps, même pour un système non isolé, par
exemple si le système est plongé dans un champ magnétique indépendant du
temps comme le spin 1/2 du § 3.2.5. En revanche, si un champ magnétique est
appliqué entre 12h et 12h10, heure de Paris, le choix de l’origine des temps
ne sera pas indifférent ! Lorsque le hamiltonien est indépendant du temps,
l’équation différentielle (4.17) s’intègre sans problème et
U (t, t 0 )=exp
−
i(t − t 0 )
H
(4.21)
qui ne dépend que de (t − t 0 ).
L’opérateur U (t − t 0 ) (4.21) est obtenu par exponentiation de l’opérateur
hermitique H ; U (t − t 0 ) effectue une translation de temps de (t − t 0 ) sur le
vecteur d’état, et si (t − t 0 ) devient infinitésimal
U (t − t 0 ) ≃ I −
i(t − t 0 )
H
(4.22)
Cette équation s’interprète ainsi : H est le générateur infinitésimal des translations de temps, et, pour un sytème isolé, la définition la plus générale du
hamiltonien est d’être précisément ce générateur infinitésimal. La notion de
générateur infinitésimal sera étendue à d’autres transformations au chapitre 7.
Considérons un système physique isolé qui peut être décrit à une bonne
approximation par un vecteur d’état d’un espace de Hilbert de dimension 1 :
particule élémentaire stable, atome dans son état fondamental ... Le vecteur
d’état est alors un nombre complexe ϕ(t) et H un nombre réel : H = E.L a
loi d’évolution (4.13) devient, compte tenu de (4.20)
ϕ(t)=exp
−
i
E(t − t 0 )
ϕ(t 0 )=exp(−iω(t − t 0 ))ϕ(t 0 )
(4.23)
en définissant E = ω. D’après la relation de Planck-Einstein E = ω,i le s t
naturel d’identifier E à l’énergie.
Passons maintenant à un cas moins trivial. Soit |n, r un vecteur propre
de H correspondant à la valeur propre E n : H|n, r = E n |n, r. Son évolution
temporelle est particulièrement simple : si |ϕ(t 0 ) = |n, r
|ϕ(t) =exp
−
i(t − t 0 )
H
|n, r =exp
−
i
E n (t − t 0 )
|n, r
(4.24)
La probabilité de trouver |ϕ(t) dans un état |χ quelconque est indépendante
du temps
||χ|ϕ(t)|
2 =
χ| exp
−
i
E n (t − t 0 )
|ϕ(t 0 )
2
= |χ|ϕ(t 0 )|
2
Physique quantique : Fondements
choix de t 0 est arbitraire. Naturellement, il peut parfaitement arriver que le
hamiltonien soit indépendant du temps, même pour un système non isolé, par
exemple si le système est plongé dans un champ magnétique indépendant du
temps comme le spin 1/2 du § 3.2.5. En revanche, si un champ magnétique est
appliqué entre 12h et 12h10, heure de Paris, le choix de l’origine des temps
ne sera pas indifférent ! Lorsque le hamiltonien est indépendant du temps,
l’équation différentielle (4.17) s’intègre sans problème et
U (t, t 0 )=exp
−
i(t − t 0 )
H
(4.21)
qui ne dépend que de (t − t 0 ).
L’opérateur U (t − t 0 ) (4.21) est obtenu par exponentiation de l’opérateur
hermitique H ; U (t − t 0 ) effectue une translation de temps de (t − t 0 ) sur le
vecteur d’état, et si (t − t 0 ) devient infinitésimal
U (t − t 0 ) ≃ I −
i(t − t 0 )
H
(4.22)
Cette équation s’interprète ainsi : H est le générateur infinitésimal des translations de temps, et, pour un sytème isolé, la définition la plus générale du
hamiltonien est d’être précisément ce générateur infinitésimal. La notion de
générateur infinitésimal sera étendue à d’autres transformations au chapitre 7.
Considérons un système physique isolé qui peut être décrit à une bonne
approximation par un vecteur d’état d’un espace de Hilbert de dimension 1 :
particule élémentaire stable, atome dans son état fondamental ... Le vecteur
d’état est alors un nombre complexe ϕ(t) et H un nombre réel : H = E.L a
loi d’évolution (4.13) devient, compte tenu de (4.20)
ϕ(t)=exp
−
i
E(t − t 0 )
ϕ(t 0 )=exp(−iω(t − t 0 ))ϕ(t 0 )
(4.23)
en définissant E = ω. D’après la relation de Planck-Einstein E = ω,i le s t
naturel d’identifier E à l’énergie.
Passons maintenant à un cas moins trivial. Soit |n, r un vecteur propre
de H correspondant à la valeur propre E n : H|n, r = E n |n, r. Son évolution
temporelle est particulièrement simple : si |ϕ(t 0 ) = |n, r
|ϕ(t) =exp
−
i(t − t 0 )
H
|n, r =exp
−
i
E n (t − t 0 )
|n, r
(4.24)
La probabilité de trouver |ϕ(t) dans un état |χ quelconque est indépendante
du temps
||χ|ϕ(t)|
2 =
χ| exp
−
i
E n (t − t 0 )
|ϕ(t 0 )
2
= |χ|ϕ(t 0 )|
2