4. Postulats de la physique quantique
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propriété de réversibilité. Cette inversion du sens du temps est examinée en
détail dans l’appendice A2. Pour exploiter l’hypothèse de réversibilité, nous
allons revenir à la notion de “discernabilité” de deux états quantiques. Supposons qu’un système quantique puisse exister dans deux états possibles, |ϕ et
|χ. Le module du produit scalaire S = ||χ|ϕ| de ces deux états quantiques
caractérise leur discernabilité : si S =0 , |ϕ et |χ sont orthogonaux et la
mesure du projecteur P = |ϕϕ|, par exemple, a pour résultat P =1si le
système est dans l’état |ϕ et P =0s’il est dans l’état |χ : les deux états
sont parfaitement discernables dans une mesure. Inversement, si S =1 ,l e s
deux états sont identiques. En général, nous avons vu en (4.2) que S est bien
une mesure quantitative de la discernabilité des deux états. Soit S 0 la valeur
de S au temps t = t 0 , et supposons que S diminue pour t>t 0 : S
la discernabilité optimale : il suffirait d’attendre pour obtenir une meilleure
discernabilité que celle obtenue à t 0 .L ac o n c l u s i o ne s tq u eS ne peut pas
diminuer entre t 0 et t, S peut seulement augmenter. Mais d’après l’hypothèse
d’évolution réversible, si une évolution t 0 → t est possible, alors l’évolution
t → t 0 doit également être physiquement possible. Si S croît entre t et t 0 ,c e
qui est la seule possibilité, alors dans l’évolution t → t 0 S décroît, ce qui est
impossible. La seule solution est que S soit indépendant du temps
||χ(t)|ϕ(t)| = ||χ(t 0 )|ϕ(t 0 )|
D’après le théorème de Wigner (chapitre 7 et Appendice A1), cela implique
que |ϕ(t) se déduise de |ϕ(t 0 ) par une transformation unitaire ou antiunitaire. Comme la transformation identité pour t = t 0 fait partie des transformations admissibles, seule une transformation unitaire U (t, t 0 ) est possible
|ϕ(t) = U (t, t 0 )|ϕ(t 0 )
ce qui est le postulat d’évolution sous la forme IV’.
4.2.3 États stationnaires
Un cas particulier très important est celui du système isolé. L’opérateur
d’évolution ne peut alors pas dépendre du choix fait pour l’origine des temps :
peu importe, pour un système isolé de toute influence extérieure, que nous
choisissions pour le décrire le temps de Paris ou celui de New-York qui, comme
chacun sait, sont décalés de τ = six heures
t New−York = t Paris − τ
Quel que soit τ , nous devons avoir
U (t − τ, t 0 − τ )=U (t, t 0 )
(4.20)
Ceci implique que U ne peut dépendre que de la différence (t − t 0 ).L ’ é q u a -
tion (4.18) montre alors que le hamiltonien est indépendant du temps,c a rl e
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propriété de réversibilité. Cette inversion du sens du temps est examinée en
détail dans l’appendice A2. Pour exploiter l’hypothèse de réversibilité, nous
allons revenir à la notion de “discernabilité” de deux états quantiques. Supposons qu’un système quantique puisse exister dans deux états possibles, |ϕ et
|χ. Le module du produit scalaire S = ||χ|ϕ| de ces deux états quantiques
caractérise leur discernabilité : si S =0 , |ϕ et |χ sont orthogonaux et la
mesure du projecteur P = |ϕϕ|, par exemple, a pour résultat P =1si le
système est dans l’état |ϕ et P =0s’il est dans l’état |χ : les deux états
sont parfaitement discernables dans une mesure. Inversement, si S =1 ,l e s
deux états sont identiques. En général, nous avons vu en (4.2) que S est bien
une mesure quantitative de la discernabilité des deux états. Soit S 0 la valeur
de S au temps t = t 0 , et supposons que S diminue pour t>t 0 : S
la discernabilité optimale : il suffirait d’attendre pour obtenir une meilleure
discernabilité que celle obtenue à t 0 .L ac o n c l u s i o ne s tq u eS ne peut pas
diminuer entre t 0 et t, S peut seulement augmenter. Mais d’après l’hypothèse
d’évolution réversible, si une évolution t 0 → t est possible, alors l’évolution
t → t 0 doit également être physiquement possible. Si S croît entre t et t 0 ,c e
qui est la seule possibilité, alors dans l’évolution t → t 0 S décroît, ce qui est
impossible. La seule solution est que S soit indépendant du temps
||χ(t)|ϕ(t)| = ||χ(t 0 )|ϕ(t 0 )|
D’après le théorème de Wigner (chapitre 7 et Appendice A1), cela implique
que |ϕ(t) se déduise de |ϕ(t 0 ) par une transformation unitaire ou antiunitaire. Comme la transformation identité pour t = t 0 fait partie des transformations admissibles, seule une transformation unitaire U (t, t 0 ) est possible
|ϕ(t) = U (t, t 0 )|ϕ(t 0 )
ce qui est le postulat d’évolution sous la forme IV’.
4.2.3 États stationnaires
Un cas particulier très important est celui du système isolé. L’opérateur
d’évolution ne peut alors pas dépendre du choix fait pour l’origine des temps :
peu importe, pour un système isolé de toute influence extérieure, que nous
choisissions pour le décrire le temps de Paris ou celui de New-York qui, comme
chacun sait, sont décalés de τ = six heures
t New−York = t Paris − τ
Quel que soit τ , nous devons avoir
U (t − τ, t 0 − τ )=U (t, t 0 )
(4.20)
Ceci implique que U ne peut dépendre que de la différence (t − t 0 ).L ’ é q u a -
tion (4.18) montre alors que le hamiltonien est indépendant du temps,c a rl e