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Physique quantique : Fondements
pour U (t, t 0 ). En différentiant (4.14) par rapport au temps
i
d
dt
|ϕ(t) = i
d
dt
U (t, t 0 )
|ϕ(t 0 )
et en comparant avec (4.11), on obtient
i
d
dt
U (t, t 0 )
|ϕ(t 0 ) = H(t)U (t, t 0 )|ϕ(t 0 )
Comme cette équation doit être valable quel que soit |ϕ(t 0 ), on en déduit
une équation différentielle pour U (t, t 0 )
i
d
dt
U (t, t 0 )=H(t)U (t, t 0 )
(4.17)
ce qui se traduit aussi par
H(t 0 )=i
d
dt
U (t, t 0 )
t=t0
(4.18)
en prenant la limite t → t 0 . Il est donc aisé de passer de la formulation intégrale (4.14) à la formulation différentielle (4.11). Le passage inverse est plus
compliqué : en effet, si H(t) était un nombre, l’équation (4.17) s’intègrerait
immédiatement. Mais H(t) est un opérateur et en général
U (t, t 0 ) =exp
−
i
t
t0
H(t
′ ) dt
′
(4.19)
parce qu’il n’y a aucune raison pour que [H(t
′ ),H(t
′′ )] = 0. Cependant il
existe une formule générale
13 pour calculer U (t, t 0 ) àp a r t i rd eH(t),e tl e s
postulats IV et IV’ sont strictement équivalents
14 .
Revenons maintenant sur la nécessité d’introduire un postulat supplémentaire IV ou IV’ pour l’évolution temporelle (Scarani [2011]). À première vue,
il semble que l’on pourrait se fonder sur le théorème de Wigner (chapitre 7)
pour déduire l’existence d’un opérateur unitaire effectuant les translations de
temps. Cependant, Peres [1993], section 8.6, montre qu’il n’y a aucune raison
d’exiger qu’une translation de temps conserve le module du produit scalaire et
soit représentée par un opérateur unitaire. Peres donne également un exemple
de physique classique pour mettre en évidence cette difficulté. Si l’on veut
utiliser le théorème de Wigner, il faut donc une hypothèse supplémentaire, et
l’hypothèse la plus faible semble être celle d’une évolution réversible, ce qui
veut dire que si une évolution t 0 → t>t 0 est physiquement possible, alors
l’évolution t → t 0 l’est également. L’exemple de Peres ne vérifie pas cette
13. Voir par exemple Messiah [1959], chapitre XVII.
14. En toute rigueur, on peut trouver des exceptions où U est défini, mais non H : cf.
Peres [1993], page 85.
Physique quantique : Fondements
pour U (t, t 0 ). En différentiant (4.14) par rapport au temps
i
d
dt
|ϕ(t) = i
d
dt
U (t, t 0 )
|ϕ(t 0 )
et en comparant avec (4.11), on obtient
i
d
dt
U (t, t 0 )
|ϕ(t 0 ) = H(t)U (t, t 0 )|ϕ(t 0 )
Comme cette équation doit être valable quel que soit |ϕ(t 0 ), on en déduit
une équation différentielle pour U (t, t 0 )
i
d
dt
U (t, t 0 )=H(t)U (t, t 0 )
(4.17)
ce qui se traduit aussi par
H(t 0 )=i
d
dt
U (t, t 0 )
t=t0
(4.18)
en prenant la limite t → t 0 . Il est donc aisé de passer de la formulation intégrale (4.14) à la formulation différentielle (4.11). Le passage inverse est plus
compliqué : en effet, si H(t) était un nombre, l’équation (4.17) s’intègrerait
immédiatement. Mais H(t) est un opérateur et en général
U (t, t 0 ) =exp
−
i
t
t0
H(t
′ ) dt
′
(4.19)
parce qu’il n’y a aucune raison pour que [H(t
′ ),H(t
′′ )] = 0. Cependant il
existe une formule générale
13 pour calculer U (t, t 0 ) àp a r t i rd eH(t),e tl e s
postulats IV et IV’ sont strictement équivalents
14 .
Revenons maintenant sur la nécessité d’introduire un postulat supplémentaire IV ou IV’ pour l’évolution temporelle (Scarani [2011]). À première vue,
il semble que l’on pourrait se fonder sur le théorème de Wigner (chapitre 7)
pour déduire l’existence d’un opérateur unitaire effectuant les translations de
temps. Cependant, Peres [1993], section 8.6, montre qu’il n’y a aucune raison
d’exiger qu’une translation de temps conserve le module du produit scalaire et
soit représentée par un opérateur unitaire. Peres donne également un exemple
de physique classique pour mettre en évidence cette difficulté. Si l’on veut
utiliser le théorème de Wigner, il faut donc une hypothèse supplémentaire, et
l’hypothèse la plus faible semble être celle d’une évolution réversible, ce qui
veut dire que si une évolution t 0 → t>t 0 est physiquement possible, alors
l’évolution t → t 0 l’est également. L’exemple de Peres ne vérifie pas cette
13. Voir par exemple Messiah [1959], chapitre XVII.
14. En toute rigueur, on peut trouver des exceptions où U est défini, mais non H : cf.
Peres [1993], page 85.