4. Postulats de la physique quantique
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(4.7) dans une mesure, qui est non unitaire et irréversible, parce que l’évolution
limitée à l’espace des états du système pendant la mesure est une évolution
tronquée qui se focalise sur l’évolution du système, lequel ne reste pas fermé
pendant la mesure. L’évolution globale comprend en outre celle de l’appareil
de mesure et de l’environnement (section 11.4). Lorsque l’on examine l’évolution d’un système ouvert, on rencontre automatiquement une évolution non
unitaire, qui sera traitée en détail au chapitre 18. Une évolution non unitaire
peut parfois être représentée par un hamiltonien non hermitien, par exemple
dans la description de particules instables : cf. l’exercice 4.4.10.
4.2.2 Opérateur d’évolution
Nous avons donné en (4.11) l’équation d’évolution sous forme différentielle.
Il existe une formulation intégrale de cette équation qui fait intervenir l’opérateur d’évolution U (t, t 0 ). Dans cette formulation, le postulat IV devient :
Postulat IV’ : Opérateur d’évolution
Le vecteur d’état |ϕ(t) au temps t se déduit du vecteur d’état |ϕ(t 0 ) au
temps t 0 par application d’un opérateur unitaire U (t, t 0 ),a p p e l éopérateur
d’évolution
|ϕ(t) = U (t, t 0 )|ϕ(t 0 )
(4.14)
L’unitarité de U : U
† U = UU
† = I assure la conservation (4.12) de la norme
ϕ(t)|ϕ(t) = ϕ(t 0 )|U
† (t, t 0 )U (t, t 0 )|ϕ(t 0 ) = ϕ(t 0 )|ϕ(t 0 ) =1
Inversement on aurait pu partir de la conservation de la norme pour montrer
que U
† U = I. Dans un espace vectoriel de dimension finie, cela suffit à assurer
UU
† = I (cf. § 2.2.1), mais pas nécessairement dans un espace de dimension
infinie. L’opérateur d’évolution obéit aussi à la propriété de groupe
U (t, t 1 )U (t 1 ,t 0 )=U (t, t 0 )
t 0 ≤ t 1 ≤ t
(4.15)
En effet, il est équivalent d’aller directement de t 0 à t, ou d’aller d’abord de
t 0 à t 1 et ensuite de t 1 à t
|ϕ(t) = U (t, t 0 )|ϕ(t 0 )
= U (t, t 1 )|ϕ(t 1 ) = U (t, t 1 )U (t 1 ,t 0 )|ϕ(t 0 )
Comme précédemment la restriction t 0
l’unitarité de U implique
U (t, t 0 )=U
−1 (t 0 ,t)=U
† (t 0 ,t)
(4.16)
Les postulats d’évolution temporelle IV et IV’ ne sont bien sûr pas indépendants. En effet, il est facile à partir de (4.11) d’écrire une équation différentielle
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(4.7) dans une mesure, qui est non unitaire et irréversible, parce que l’évolution
limitée à l’espace des états du système pendant la mesure est une évolution
tronquée qui se focalise sur l’évolution du système, lequel ne reste pas fermé
pendant la mesure. L’évolution globale comprend en outre celle de l’appareil
de mesure et de l’environnement (section 11.4). Lorsque l’on examine l’évolution d’un système ouvert, on rencontre automatiquement une évolution non
unitaire, qui sera traitée en détail au chapitre 18. Une évolution non unitaire
peut parfois être représentée par un hamiltonien non hermitien, par exemple
dans la description de particules instables : cf. l’exercice 4.4.10.
4.2.2 Opérateur d’évolution
Nous avons donné en (4.11) l’équation d’évolution sous forme différentielle.
Il existe une formulation intégrale de cette équation qui fait intervenir l’opérateur d’évolution U (t, t 0 ). Dans cette formulation, le postulat IV devient :
Postulat IV’ : Opérateur d’évolution
Le vecteur d’état |ϕ(t) au temps t se déduit du vecteur d’état |ϕ(t 0 ) au
temps t 0 par application d’un opérateur unitaire U (t, t 0 ),a p p e l éopérateur
d’évolution
|ϕ(t) = U (t, t 0 )|ϕ(t 0 )
(4.14)
L’unitarité de U : U
† U = UU
† = I assure la conservation (4.12) de la norme
ϕ(t)|ϕ(t) = ϕ(t 0 )|U
† (t, t 0 )U (t, t 0 )|ϕ(t 0 ) = ϕ(t 0 )|ϕ(t 0 ) =1
Inversement on aurait pu partir de la conservation de la norme pour montrer
que U
† U = I. Dans un espace vectoriel de dimension finie, cela suffit à assurer
UU
† = I (cf. § 2.2.1), mais pas nécessairement dans un espace de dimension
infinie. L’opérateur d’évolution obéit aussi à la propriété de groupe
U (t, t 1 )U (t 1 ,t 0 )=U (t, t 0 )
t 0 ≤ t 1 ≤ t
(4.15)
En effet, il est équivalent d’aller directement de t 0 à t, ou d’aller d’abord de
t 0 à t 1 et ensuite de t 1 à t
|ϕ(t) = U (t, t 0 )|ϕ(t 0 )
= U (t, t 1 )|ϕ(t 1 ) = U (t, t 1 )U (t 1 ,t 0 )|ϕ(t 0 )
Comme précédemment la restriction t 0
l’unitarité de U implique
U (t, t 0 )=U
−1 (t 0 ,t)=U
† (t 0 ,t)
(4.16)
Les postulats d’évolution temporelle IV et IV’ ne sont bien sûr pas indépendants. En effet, il est facile à partir de (4.11) d’écrire une équation différentielle