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Physique quantique : Fondements
la mesure d’un ensemble de propriétés physiques compatibles, qui détermine
le vecteur d’état |ϕ(t 0 ) (mais ainsi que nous l’avons déjà noté, la phase de
préparation ne correspond pas nécessairement à un test maximal). Le vecteur
d’état évolue ensuite jusqu’au temps t en suivant (4.11), et une seconde mesure d’une ou d’un ensemble de propriétés physiques (soit identiques à celles
de la première mesure, soit différentes) est effectuée au temps t. Cette seconde
mesure permet de déterminer totalement ou en partie |ϕ(t), et par exemple
de remonter aux propriétés de H. Pour que (4.11) soit valable entre les deux
mesures, il est bien sûr nécessaire que le système quantique reste fermé dans
l’intervalle de temps correspondant.
La (nécessaire) conservation de la norme du vecteur d’état est assurée par
l’hermiticité de H.E ne ff e t ,
d
dt
||ϕ(t)||
2
=
d
dt
ϕ(t)|ϕ(t)
= ϕ(t)|
1
i
H
†
|ϕ(t) + ϕ(t)|
1
i
H
|ϕ(t)
=
1
i
ϕ(t)|(H − H
† )|ϕ(t) =0
(4.12)
car H = H
† .S il ’ o nd é c o m p o s e|ϕ(t) sur une base |n, r
|ϕ(t) =
n,r
|n, rn, r|ϕ(t) =
n,r
c nr (t)|n, r
les composantes c nr (t) obéissent à
d
dt
n,r
|c nr (t)|
2
=
d
dt
n
p(a n ,t)
=0
La somme des probabilités p(a n ,t) doit toujours être égale à un. La conservation de la norme de |ϕ implique, dans un espace de Hilbert de dimension finie,
que l’évolution |ϕ(t =0 ) →| ϕ(t) est unitaire : on parle alors d’évolution
hamiltonienne,o ud’évolution unitaire. Ce résultat reste vrai en dimension
infinie.
La forme matricielle de l’équation d’évolution (4.11) s’obtient dans une
base arbitraire {|α} de H en la multipliant à gauche (4.11) par α| et en
utilisant la relation de fermeture
i
d
dt
α|ϕ(t) = α|H(t)|ϕ(t) =
β
α|H(t)|ββ|ϕ(t)
soit
i ˙
c α (t)=
β
H αβ (t) c β (t)
(4.13)
Nous avons souligné le caractère réversible et unitaire de l’évolution (4.11).
Ce caractère réversible et unitaire doit être contrasté avec celui de l’évolution
Physique quantique : Fondements
la mesure d’un ensemble de propriétés physiques compatibles, qui détermine
le vecteur d’état |ϕ(t 0 ) (mais ainsi que nous l’avons déjà noté, la phase de
préparation ne correspond pas nécessairement à un test maximal). Le vecteur
d’état évolue ensuite jusqu’au temps t en suivant (4.11), et une seconde mesure d’une ou d’un ensemble de propriétés physiques (soit identiques à celles
de la première mesure, soit différentes) est effectuée au temps t. Cette seconde
mesure permet de déterminer totalement ou en partie |ϕ(t), et par exemple
de remonter aux propriétés de H. Pour que (4.11) soit valable entre les deux
mesures, il est bien sûr nécessaire que le système quantique reste fermé dans
l’intervalle de temps correspondant.
La (nécessaire) conservation de la norme du vecteur d’état est assurée par
l’hermiticité de H.E ne ff e t ,
d
dt
||ϕ(t)||
2
=
d
dt
ϕ(t)|ϕ(t)
= ϕ(t)|
1
i
H
†
|ϕ(t) + ϕ(t)|
1
i
H
|ϕ(t)
=
1
i
ϕ(t)|(H − H
† )|ϕ(t) =0
(4.12)
car H = H
† .S il ’ o nd é c o m p o s e|ϕ(t) sur une base |n, r
|ϕ(t) =
n,r
|n, rn, r|ϕ(t) =
n,r
c nr (t)|n, r
les composantes c nr (t) obéissent à
d
dt
n,r
|c nr (t)|
2
=
d
dt
n
p(a n ,t)
=0
La somme des probabilités p(a n ,t) doit toujours être égale à un. La conservation de la norme de |ϕ implique, dans un espace de Hilbert de dimension finie,
que l’évolution |ϕ(t =0 ) →| ϕ(t) est unitaire : on parle alors d’évolution
hamiltonienne,o ud’évolution unitaire. Ce résultat reste vrai en dimension
infinie.
La forme matricielle de l’équation d’évolution (4.11) s’obtient dans une
base arbitraire {|α} de H en la multipliant à gauche (4.11) par α| et en
utilisant la relation de fermeture
i
d
dt
α|ϕ(t) = α|H(t)|ϕ(t) =
β
α|H(t)|ββ|ϕ(t)
soit
i ˙
c α (t)=
β
H αβ (t) c β (t)
(4.13)
Nous avons souligné le caractère réversible et unitaire de l’évolution (4.11).
Ce caractère réversible et unitaire doit être contrasté avec celui de l’évolution