4. Postulats de la physique quantique
127
b2
mesure
de
mesure
de
mesure
pr´ eparation t 0
U(t, t 0 )
|ϕ
ϕ(t)
|ϕ(t 0 ) = |n
t
D 1
D 2
D 3
D 4
D 5
b 4
b 1
b 5
b 3
Fig. 4.2 – Préparation et mesure. La mesure de A au temps t0 donne le résultat an
et sélectionne l’état |n, A|n = an|n : c’est la préparation du système. L’évolution
(4.14) entre t0 et t se traduit par |ϕ(t) = U (t, t0)|ϕ(t0. Une mesure de B est
e n s u i t ee ff e c t u é ea ut e m p st : B|m = bm|m, m =1 , ..., M,a v e cM =5sur la
figure. Un filtre de Stern-Gerlach généralisé avec M voies de sortie réalise un test
maximal. La probabilité de déclencher le détecteur Dm est p(bm)=|m|ϕ(t)|
2 =
|m|U (t, t0)|n|
2 .
Il nous faut énoncer de façon précise les conditions de validité de (4.11).
Cette équation est valable pour un système quantique fermé, ce qui doit se
comprendre comme suit : le système quantique considéré ne doit pas être une
partie d’un système quantique plus grand, une situation qui sera examinée en
détail au chapitre 18. Cependant, (4.11) est valable si le système quantique
interagit avec un système classique
12
, ce qui veut dire qu’il n’est pas nécessairement isolé. L’équation (4.11), par exemple, est valable pour un spin 1/2
soumis à un champ magnétique variable (section 5.2), ou pour un atome soumis au champ électromagnétique d’une onde laser (sections 15.3.1 à 15.3.3),
mais pas pour un atome interagissant avec un champ électromagnétique quantifié (§ 17.3.4). Dans ce dernier cas, l’évolution temporelle du vecteur d’état
de l’atome, ou plus exactement celle de son opérateur statistique, n’est pas
régie par un hamiltonien. Une évolution hamiltonienne n’est valable que pour
l’ensemble atome + champ.
L’opérateur H a les dimensions d’une énergie, et nous identifierons effectivement H comme étant l’opérateur hermitien représentant la propriété
physique énergie. L’équation (4.11) est du premier ordre par rapport au temps,
et l’évolution est déterministe : étant donné une condition initiale |ϕ(t 0 ) au
temps t = t 0 pour le vecteur d’état, l’évolution (4.11) détermine |ϕ(t) àt o u t
temps ultérieur t>t 0 , pourvu bien sûr que le hamiltonien soit connu. En fait,
la restriction à t>t 0 n’est pas nécessaire : l’évolution (4.11) est réversible
et on peut parfaitement “remonter le temps”. Le schéma d’une expérience typique est donné sur la figure 4.2 : le système est préparé au temps t = t 0 par
12. La raison pour laquelle ceci est possible est subtile. L’explication est donnée dans
l’exercice 17.5.11 : un champ classique ne s’intrique pas avec le système quantique (voir le
chapitre 11 pour la définition de l’intrication).
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mesure
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pr´ eparation t 0
U(t, t 0 )
|ϕ
ϕ(t)
|ϕ(t 0 ) = |n
t
D 1
D 2
D 3
D 4
D 5
b 4
b 1
b 5
b 3
Fig. 4.2 – Préparation et mesure. La mesure de A au temps t0 donne le résultat an
et sélectionne l’état |n, A|n = an|n : c’est la préparation du système. L’évolution
(4.14) entre t0 et t se traduit par |ϕ(t) = U (t, t0)|ϕ(t0. Une mesure de B est
e n s u i t ee ff e c t u é ea ut e m p st : B|m = bm|m, m =1 , ..., M,a v e cM =5sur la
figure. Un filtre de Stern-Gerlach généralisé avec M voies de sortie réalise un test
maximal. La probabilité de déclencher le détecteur Dm est p(bm)=|m|ϕ(t)|
2 =
|m|U (t, t0)|n|
2 .
Il nous faut énoncer de façon précise les conditions de validité de (4.11).
Cette équation est valable pour un système quantique fermé, ce qui doit se
comprendre comme suit : le système quantique considéré ne doit pas être une
partie d’un système quantique plus grand, une situation qui sera examinée en
détail au chapitre 18. Cependant, (4.11) est valable si le système quantique
interagit avec un système classique
12
, ce qui veut dire qu’il n’est pas nécessairement isolé. L’équation (4.11), par exemple, est valable pour un spin 1/2
soumis à un champ magnétique variable (section 5.2), ou pour un atome soumis au champ électromagnétique d’une onde laser (sections 15.3.1 à 15.3.3),
mais pas pour un atome interagissant avec un champ électromagnétique quantifié (§ 17.3.4). Dans ce dernier cas, l’évolution temporelle du vecteur d’état
de l’atome, ou plus exactement celle de son opérateur statistique, n’est pas
régie par un hamiltonien. Une évolution hamiltonienne n’est valable que pour
l’ensemble atome + champ.
L’opérateur H a les dimensions d’une énergie, et nous identifierons effectivement H comme étant l’opérateur hermitien représentant la propriété
physique énergie. L’équation (4.11) est du premier ordre par rapport au temps,
et l’évolution est déterministe : étant donné une condition initiale |ϕ(t 0 ) au
temps t = t 0 pour le vecteur d’état, l’évolution (4.11) détermine |ϕ(t) àt o u t
temps ultérieur t>t 0 , pourvu bien sûr que le hamiltonien soit connu. En fait,
la restriction à t>t 0 n’est pas nécessaire : l’évolution (4.11) est réversible
et on peut parfaitement “remonter le temps”. Le schéma d’une expérience typique est donné sur la figure 4.2 : le système est préparé au temps t = t 0 par
12. La raison pour laquelle ceci est possible est subtile. L’explication est donnée dans
l’exercice 17.5.11 : un champ classique ne s’intrique pas avec le système quantique (voir le
chapitre 11 pour la définition de l’intrication).