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Physique quantique : Fondements
Ceci démontre l’inégalité de Heisenberg
(∆ ϕ A)(∆ ϕ B) ≥
1
2
C ϕ
(4.10)
C’est la relation souhaitée donnant les dispersions sur les mesures de A et B :
le produit des dispersions sur les mesures est supérieur ou égal à la moitié
du module de la valeur moyenne du commutateur de A et B.I le s tf a c i l e
de montrer (exercice 4.4.1) qu’une condition nécessaire et suffisante pour que
∆ ϕ A =0est que |ϕ soit vecteur propre de A. Dans un espace vectoriel de
dimension finie, on a alors C ϕ =0 . Insistons sur l’interprétation correcte
de (4.10) : en effectuant comme en (4.3) un grand nombre de mesures de A,
un grand nombre de mesures de B et un grand nombre de mesures de C sur
d e ss y s t è m e st o u sp r é p a r é sd a n sl em ê m eé t a t|ϕ, on pourra en déduire avec
une bonne précision les dispersions ∆ ϕ A et ∆ ϕ B ainsi que la valeur moyenne
C ϕ , qui obéiront alors à (4.10). Nous soulignons que A, B et C sont bien
sûr mesurés sans des expériences différentes : ils ne peuvent pas être mesurés
simultanément si A, B et C ne commutent pas. De plus, ∆ ϕ A et ∆ ϕ B ne
sont en rien liés aux erreurs de mesure. Si, par exemple, δA est la résolution
expérimentale pour la mesure de A, nous devons avoir δA ≪ ∆ ϕ A pour une
détermination précise de la dispersion. L’erreur sur A est contrôlée par la
résolution expérimentale, et pas du tout par ∆ ϕ A : rien n’empêche A ϕ d’être
déterminé avec une précision bien meilleure que ∆ ϕ A.
4.2 Évolution temporelle
4.2.1 Équation d’évolution
Jusqu’à présent, nous avons considéré le système physique à un instant
donné, ou pendant l’intervalle de temps supposé infiniment court d’une mesure. Nous allons maintenant prendre en considération l’évolution temporelle
du vecteur d’état, auquel nous donnerons une dépendance explicite |ϕ(t) par
rapport au temps t.
Postulat IV : équation d’évolution
L’évolution temporelle du vecteur d’état |ϕ(t) d’un système quantique fermé
est régie par l’équation d’évolution
i
d|ϕ(t)
dt
= H(t)|ϕ(t)
(4.11)
L’opérateur hermitien H(t) est appelé hamiltonien. En écrivant (4.11), nous
avons admis la nécessité d’un postulat supplémentaire indépendant pour l’évolution temporelle. En réalité, on peut déduire ce postulat moyennant une hypothèse plus faible, celle d’une évolution réversible, ainsi que nous le verrons
à la fin du § 4.2.2.
Physique quantique : Fondements
Ceci démontre l’inégalité de Heisenberg
(∆ ϕ A)(∆ ϕ B) ≥
1
2
C ϕ
(4.10)
C’est la relation souhaitée donnant les dispersions sur les mesures de A et B :
le produit des dispersions sur les mesures est supérieur ou égal à la moitié
du module de la valeur moyenne du commutateur de A et B.I le s tf a c i l e
de montrer (exercice 4.4.1) qu’une condition nécessaire et suffisante pour que
∆ ϕ A =0est que |ϕ soit vecteur propre de A. Dans un espace vectoriel de
dimension finie, on a alors C ϕ =0 . Insistons sur l’interprétation correcte
de (4.10) : en effectuant comme en (4.3) un grand nombre de mesures de A,
un grand nombre de mesures de B et un grand nombre de mesures de C sur
d e ss y s t è m e st o u sp r é p a r é sd a n sl em ê m eé t a t|ϕ, on pourra en déduire avec
une bonne précision les dispersions ∆ ϕ A et ∆ ϕ B ainsi que la valeur moyenne
C ϕ , qui obéiront alors à (4.10). Nous soulignons que A, B et C sont bien
sûr mesurés sans des expériences différentes : ils ne peuvent pas être mesurés
simultanément si A, B et C ne commutent pas. De plus, ∆ ϕ A et ∆ ϕ B ne
sont en rien liés aux erreurs de mesure. Si, par exemple, δA est la résolution
expérimentale pour la mesure de A, nous devons avoir δA ≪ ∆ ϕ A pour une
détermination précise de la dispersion. L’erreur sur A est contrôlée par la
résolution expérimentale, et pas du tout par ∆ ϕ A : rien n’empêche A ϕ d’être
déterminé avec une précision bien meilleure que ∆ ϕ A.
4.2 Évolution temporelle
4.2.1 Équation d’évolution
Jusqu’à présent, nous avons considéré le système physique à un instant
donné, ou pendant l’intervalle de temps supposé infiniment court d’une mesure. Nous allons maintenant prendre en considération l’évolution temporelle
du vecteur d’état, auquel nous donnerons une dépendance explicite |ϕ(t) par
rapport au temps t.
Postulat IV : équation d’évolution
L’évolution temporelle du vecteur d’état |ϕ(t) d’un système quantique fermé
est régie par l’équation d’évolution
i
d|ϕ(t)
dt
= H(t)|ϕ(t)
(4.11)
L’opérateur hermitien H(t) est appelé hamiltonien. En écrivant (4.11), nous
avons admis la nécessité d’un postulat supplémentaire indépendant pour l’évolution temporelle. En réalité, on peut déduire ce postulat moyennant une hypothèse plus faible, celle d’une évolution réversible, ainsi que nous le verrons
à la fin du § 4.2.2.