4. Postulats de la physique quantique
125
concept et ses conséquences pour la mesure. Deux propriétés physiques A et
B sont incompatibles si le commutateur des opérateurs A et B qui les représentent est non nul : [A, B] =0 . Supposons qu’une première mesure de
A ait donné un résultat a et projeté le vecteur d’état initial sur un vecteur
propre |a de A : A|a = a|a. Si l’on effectue une mesure de B immédiatement
après celle de A, en général le vecteur |a ne sera pas vecteur propre de B
et le résultat de la mesure ne sera connu qu’avec une certaine probabilité.
Par exemple, si b est une valeur propre simple de B correspondant au vecteur
propre |b : B|b = b|b, la probabilité de mesurer b sera p(a → b)=||b|a|
2 .
En général, il ne sera pas possible de trouver des états où les valeurs de A
et B soient toutes deux exactement connues. Nous allons établir un résultat
important sur les dispersions (ou écarts types) des mesures effectuées à partir
d’un état initial |ϕ arbitraire. Comme en théorie des probabilités ordinaire,
nous définissons les dispersions,o uécarts types, ∆ ϕ A et ∆ ϕ B dans l’état |ϕ
par
(∆ ϕ A)
2 = A
2 ϕ − (A ϕ )
2 = (A −A ϕ I)
2 ϕ
(∆ ϕ B)
2 = B
2 ϕ − (B ϕ )
2 = (B −B ϕ I)
2 ϕ
(4.8)
Le commutateur de A et de B est de la forme iC,o ùC est un opérateur
hermitien ; en effet
[A, B]
† =[B
† ,A
† ]=[B, A]=−[A, B]
Nous pouvons donc écrire
[A, B]=iCC = C
†
(4.9)
Définissons les opérateurs hermitiens de valeur moyenne nulle (a priori uniquement dans l’état |ϕ)
A 0 = A −A ϕ IB 0 = B −B ϕ I
et dont le commutateur est aussi iC : [A 0 ,B 0 ]=iC,c a rA ϕ et B ϕ sont
des nombres. La norme au carré du vecteur
(A 0 + iλB 0 )|ϕ
où λ est choisi réel, doit être positive
||(A 0 + iλB 0 )|ϕ||
2
= ||A 0 |ϕ||
2 + iλϕ|A 0 B 0 |ϕ−iλϕ|B 0 A 0 |ϕ
+λ
2 ||B 0 |ϕ||
2
= A
2
0 ϕ − λC ϕ + λ
2 B
2
0 ϕ ≥ 0
Le polynôme de degré deux en λ doit être positif quel que soit λ,c eq u i
implique
C
2
ϕ − 4A
2
0 ϕ B
2
0 ϕ ≤ 0
125
concept et ses conséquences pour la mesure. Deux propriétés physiques A et
B sont incompatibles si le commutateur des opérateurs A et B qui les représentent est non nul : [A, B] =0 . Supposons qu’une première mesure de
A ait donné un résultat a et projeté le vecteur d’état initial sur un vecteur
propre |a de A : A|a = a|a. Si l’on effectue une mesure de B immédiatement
après celle de A, en général le vecteur |a ne sera pas vecteur propre de B
et le résultat de la mesure ne sera connu qu’avec une certaine probabilité.
Par exemple, si b est une valeur propre simple de B correspondant au vecteur
propre |b : B|b = b|b, la probabilité de mesurer b sera p(a → b)=||b|a|
2 .
En général, il ne sera pas possible de trouver des états où les valeurs de A
et B soient toutes deux exactement connues. Nous allons établir un résultat
important sur les dispersions (ou écarts types) des mesures effectuées à partir
d’un état initial |ϕ arbitraire. Comme en théorie des probabilités ordinaire,
nous définissons les dispersions,o uécarts types, ∆ ϕ A et ∆ ϕ B dans l’état |ϕ
par
(∆ ϕ A)
2 = A
2 ϕ − (A ϕ )
2 = (A −A ϕ I)
2 ϕ
(∆ ϕ B)
2 = B
2 ϕ − (B ϕ )
2 = (B −B ϕ I)
2 ϕ
(4.8)
Le commutateur de A et de B est de la forme iC,o ùC est un opérateur
hermitien ; en effet
[A, B]
† =[B
† ,A
† ]=[B, A]=−[A, B]
Nous pouvons donc écrire
[A, B]=iCC = C
†
(4.9)
Définissons les opérateurs hermitiens de valeur moyenne nulle (a priori uniquement dans l’état |ϕ)
A 0 = A −A ϕ IB 0 = B −B ϕ I
et dont le commutateur est aussi iC : [A 0 ,B 0 ]=iC,c a rA ϕ et B ϕ sont
des nombres. La norme au carré du vecteur
(A 0 + iλB 0 )|ϕ
où λ est choisi réel, doit être positive
||(A 0 + iλB 0 )|ϕ||
2
= ||A 0 |ϕ||
2 + iλϕ|A 0 B 0 |ϕ−iλϕ|B 0 A 0 |ϕ
+λ
2 ||B 0 |ϕ||
2
= A
2
0 ϕ − λC ϕ + λ
2 B
2
0 ϕ ≥ 0
Le polynôme de degré deux en λ doit être positif quel que soit λ,c eq u i
implique
C
2
ϕ − 4A
2
0 ϕ B
2
0 ϕ ≤ 0