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Physique quantique : Fondements
Comme ci-dessus, la répétition d’un grand nombre de mesures sur des systèmes quantiques préparés dans des conditions identiques permet d’obtenir la
valeur moyenne A ϕ de A dans l’état |ϕ
A ϕ =
n
a n p(a n )=
n,r
ϕ|n, r a n n, r|ϕ
soit en utilisant (2.31)
A ϕ = ϕ|A|ϕ
(4.6)
ce qui généralise le résultat précédent. Les opérateurs représentant des propriétés physiques sont souvent appelés “observables” dans la littérature. Nous
éviterons cette terminologie qui n’a pas de véritable intérêt
5
.
L’opérateur hermitien le plus simple est le projecteur sur un vecteur de
H, et faire passer un test |χ à un système quantique est équivalent à mesurer le projecteur P χ = |χχ| : P χ prend la valeur un si le sytème passe le
test |χ et zéro s’il échoue. Compte tenu de la décomposition spectrale d’un
opérateur hermitien comme somme de projecteurs, on voit que les notions de
test et de mesure d’une propriété physique sont étroitement liées. On mettra
plutôt l’accent sur l’aspect “mesure” si l’on est intéressé par la valeur propre
6
de A, et plutôt sur l’aspect “test” si l’on est intéressé par la probabilité de
trouver le système dans un état propre de A. Illustrons-le sur l’expérience de
Stern-Gerlach du § 3.2.2. Dans l’interpétation “mesure du spin”, l’appareil de
Stern-Gerlach mesure la composante z du spin en déviant les atomes d’argent vers le haut ou vers le bas, et la détection de l’atome sur un écran à la
sortie de l’appareil permet de distinguer entre les valeurs +/2 et −/2 de
la propriété physique S z , composante du spin suivant l’axe Oz.O np e u t ,d e
façon équivalente, dire que l’on fait passer aux atomes les tests |+ et |−−.L a
probabilité de déviation vers le haut (resp. bas) est ||+|ϕ|
2
(resp. |−|ϕ|
2
).
Cependant, les mesures, ou les tests, décrits au § 3.2.2 présentent un inconvénient : la mesure n’est achevée que lorsque les atomes sont absorbés sur
l’écran et ils ne sont plus disponibles pour des expériences ultérieures. Dans
une mesure idéale (ou test idéal), on suppose que le système physique n’est
pas détruit par la mesure
7
, et que si avant la mesure de A le vecteur d’état
5. Cette terminologie remonte à l’article fondateur de Heisenberg, dont est extraite la
citation suivante : “Cet article a pour objet d’établir que la théorie quantique est fondée
exclusivement sur des relations entre quantités qui sont en principe observables”. Se restreindre à une telle approche est une vision étroite de la physique, que Heisenberg lui-même
n’a pas respectée dans sa pratique !
6. On peut donner une formulation “mesure” au test de polarisation d’un photon, par
exemple dans la base {|x, |y}, en introduisant la propriété physique Ax représentée par
l’opérateur
Ax = |xx|−|yy|
qui prend la valeur +1 si le photon est polarisé suivant Ox et −1 s’il est polarisé suivant
Oy.
Physique quantique : Fondements
Comme ci-dessus, la répétition d’un grand nombre de mesures sur des systèmes quantiques préparés dans des conditions identiques permet d’obtenir la
valeur moyenne A ϕ de A dans l’état |ϕ
A ϕ =
n
a n p(a n )=
n,r
ϕ|n, r a n n, r|ϕ
soit en utilisant (2.31)
A ϕ = ϕ|A|ϕ
(4.6)
ce qui généralise le résultat précédent. Les opérateurs représentant des propriétés physiques sont souvent appelés “observables” dans la littérature. Nous
éviterons cette terminologie qui n’a pas de véritable intérêt
5
.
L’opérateur hermitien le plus simple est le projecteur sur un vecteur de
H, et faire passer un test |χ à un système quantique est équivalent à mesurer le projecteur P χ = |χχ| : P χ prend la valeur un si le sytème passe le
test |χ et zéro s’il échoue. Compte tenu de la décomposition spectrale d’un
opérateur hermitien comme somme de projecteurs, on voit que les notions de
test et de mesure d’une propriété physique sont étroitement liées. On mettra
plutôt l’accent sur l’aspect “mesure” si l’on est intéressé par la valeur propre
6
de A, et plutôt sur l’aspect “test” si l’on est intéressé par la probabilité de
trouver le système dans un état propre de A. Illustrons-le sur l’expérience de
Stern-Gerlach du § 3.2.2. Dans l’interpétation “mesure du spin”, l’appareil de
Stern-Gerlach mesure la composante z du spin en déviant les atomes d’argent vers le haut ou vers le bas, et la détection de l’atome sur un écran à la
sortie de l’appareil permet de distinguer entre les valeurs +/2 et −/2 de
la propriété physique S z , composante du spin suivant l’axe Oz.O np e u t ,d e
façon équivalente, dire que l’on fait passer aux atomes les tests |+ et |−−.L a
probabilité de déviation vers le haut (resp. bas) est ||+|ϕ|
2
(resp. |−|ϕ|
2
).
Cependant, les mesures, ou les tests, décrits au § 3.2.2 présentent un inconvénient : la mesure n’est achevée que lorsque les atomes sont absorbés sur
l’écran et ils ne sont plus disponibles pour des expériences ultérieures. Dans
une mesure idéale (ou test idéal), on suppose que le système physique n’est
pas détruit par la mesure
7
, et que si avant la mesure de A le vecteur d’état
5. Cette terminologie remonte à l’article fondateur de Heisenberg, dont est extraite la
citation suivante : “Cet article a pour objet d’établir que la théorie quantique est fondée
exclusivement sur des relations entre quantités qui sont en principe observables”. Se restreindre à une telle approche est une vision étroite de la physique, que Heisenberg lui-même
n’a pas respectée dans sa pratique !
6. On peut donner une formulation “mesure” au test de polarisation d’un photon, par
exemple dans la base {|x, |y}, en introduisant la propriété physique Ax représentée par
l’opérateur
Ax = |xx|−|yy|
qui prend la valeur +1 si le photon est polarisé suivant Ox et −1 s’il est polarisé suivant
Oy.