4. Postulats de la physique quantique
119
Si le sytème quantique est dans un état |ϕ≡| n, la valeur de l’opérateur
A dans cet état est a n : la propriété physique A prend la valeur numérique
exacte a n .S i|ϕ n’est pas état (ou vecteur) propre de A,o ns a i td ’ a p r è sII
que la probabilité p n ≡ p(a n ) de trouver |ϕ dans |n, et donc de mesurer la
valeur a n de A,e s tp n = |n|ϕ|
2
. Pour déterminer si le système quantique
est dans l’état |n, n =1 , ..., N, on peut imaginer une généralisation de
l’expérience de Stern-Gerlach avec N voies de sortie au lieu des deux voies
|+ et |−− et un détecteur associé à chaque voie. Effectuons une série de tests
sur des systèmes quantiques qui se trouvent tous dans l’état |ϕ.O nd i tq u e
ces sytèmes ont été préparés dans l’état |ϕ : nous avons déjà rencontré la
notion de préparation d’un système quantique dans le cas de la polarisation
des photons, et nous y reviendrons ultérieurement. Si le nombre de tests N
est très grand, on peut en déduire expérimentalement la valeur moyenne de
la propriété physique A dans l’état |ϕ,n o t é eA ϕ
A ϕ = lim
N→∞
1
N
N
p=1
A p
(4.3)
où A p est le résultat de la mesure n
o p. A p varie d’un test à l’autre, mais est
toujours égal à l’une des valeurs propres a n . Cette valeur moyenne est donnée
en fonction de A et |ϕ par
A ϕ =
n
p n a n =
n
ϕ|na n n|ϕ = ϕ|A|ϕ
Nous avons déjà rencontré un cas particulier de cette relation dans (3.38). Il
n’est pas difficile de généraliser au cas des valeurs propres dégénérées. Si le
système est dans un état |ϕ quelconque, nous pouvons décomposer |ϕ sur la
base des vecteurs propres de A en utilisant la relation de fermeture (2.30)
|ϕ =
n,r
|n, rn, r|ϕ =
n,r
c nr |n, r
Pour trouver la probabilité p(a n ) d’observer la valeur propre a n ,i lf au tm ai n -
tenant sommer sur l’indice r à n fixé toutes les probabilités de trouver |ϕ
dans l’un quelconque des états |n, r
p(a n )=
r
|c nr |
2 =
r
ϕ|n, rn, r|ϕ
= ϕ|P n |ϕ
(4.4)
où P n est le projecteur sur le sous-espace de la valeur propre a n (cf. (2.29))
P n =
r
|n, rn, r|
(4.5)
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Si le sytème quantique est dans un état |ϕ≡| n, la valeur de l’opérateur
A dans cet état est a n : la propriété physique A prend la valeur numérique
exacte a n .S i|ϕ n’est pas état (ou vecteur) propre de A,o ns a i td ’ a p r è sII
que la probabilité p n ≡ p(a n ) de trouver |ϕ dans |n, et donc de mesurer la
valeur a n de A,e s tp n = |n|ϕ|
2
. Pour déterminer si le système quantique
est dans l’état |n, n =1 , ..., N, on peut imaginer une généralisation de
l’expérience de Stern-Gerlach avec N voies de sortie au lieu des deux voies
|+ et |−− et un détecteur associé à chaque voie. Effectuons une série de tests
sur des systèmes quantiques qui se trouvent tous dans l’état |ϕ.O nd i tq u e
ces sytèmes ont été préparés dans l’état |ϕ : nous avons déjà rencontré la
notion de préparation d’un système quantique dans le cas de la polarisation
des photons, et nous y reviendrons ultérieurement. Si le nombre de tests N
est très grand, on peut en déduire expérimentalement la valeur moyenne de
la propriété physique A dans l’état |ϕ,n o t é eA ϕ
A ϕ = lim
N→∞
1
N
N
p=1
A p
(4.3)
où A p est le résultat de la mesure n
o p. A p varie d’un test à l’autre, mais est
toujours égal à l’une des valeurs propres a n . Cette valeur moyenne est donnée
en fonction de A et |ϕ par
A ϕ =
n
p n a n =
n
ϕ|na n n|ϕ = ϕ|A|ϕ
Nous avons déjà rencontré un cas particulier de cette relation dans (3.38). Il
n’est pas difficile de généraliser au cas des valeurs propres dégénérées. Si le
système est dans un état |ϕ quelconque, nous pouvons décomposer |ϕ sur la
base des vecteurs propres de A en utilisant la relation de fermeture (2.30)
|ϕ =
n,r
|n, rn, r|ϕ =
n,r
c nr |n, r
Pour trouver la probabilité p(a n ) d’observer la valeur propre a n ,i lf au tm ai n -
tenant sommer sur l’indice r à n fixé toutes les probabilités de trouver |ϕ
dans l’un quelconque des états |n, r
p(a n )=
r
|c nr |
2 =
r
ϕ|n, rn, r|ϕ
= ϕ|P n |ϕ
(4.4)
où P n est le projecteur sur le sous-espace de la valeur propre a n (cf. (2.29))
P n =
r
|n, rn, r|
(4.5)