4. Postulats de la physique quantique
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Postulat II : amplitudes de probabilité et probabilités
Si |ϕ est le vecteur représentant l’état du système et si |χ représente
un autre état physique, il existe une amplitude de probabilité a(ϕ → χ) de
trouver |ϕ dans l’état |χ, qui est donnée par un produit scalaire sur H :
a(ϕ → χ)=χ|ϕ. La probabilité p(ϕ → χ) pour l’état |ϕ de passer le test
|χ s’obtient en prenant le module carré ||χ|ϕ|
2
de cette amplitude
3
,
p(ϕ → χ)=|a(ϕ → χ)|
2 = |χ|ϕ|
2
(4.1)
ce qui constitue la r è g l ed eB o r n .Ajoutons quelques remarques pour
compléter l’énoncé des deux premiers postulats.
• Sauf mention explicite du contraire, nous supposons les vecteurs d’état
de norme unité. Si ce n’est pas le cas, il faut prendre garde à diviser par
les normes. Par exemple la règle de Born (4.1) devient
p(ϕ → χ)=
||χ|ϕ|
2
||χ|| 2 ||ϕ|| 2
• Les vecteurs |ϕ et |ϕ
′ =exp(iβ)|ϕ représentent le même état physique.
En effet on sait seulement mesurer des probabilités, et
||χ|ϕ|
2 = |χ|ϕ
′ |
2 ∀| χ∈H
Il n’est donc pas possible de distinguer entre |ϕ et |ϕ
′ , qui diffèrent par
un facteur de phase. En toute rigueur, un état physique est représenté
par un rayon, ou vecteur à un facteur de phase près, de l’espace de
Hilbert. L’ensemble des rayons forme un espace de Hilbert projectif :
dans le cas du spin 1/2, cet espace peut être identifié à la sphère de
Poincaré-Bloch. En revanche la superposition λ|ϕ + µ|χ représente un
état physique différent de λ|ϕ
′ + µ|χ ! Décider entre les phases qui
sont physiquement pertinentes et celles qui ne le sont pas, peut être un
exercice délicat, comme le montre la phase de Berry (section 12.6).
• Le module du produit scalaire S = ||χ|ϕ| de deux états quantiques |ϕ
et |χ est une mesure quantitative de leur “discernabilité” dans le sens
suivant : si l’on prépare une suite d’états |ϕ et |χ avec respectivement
une probabilité r et (1 − r), et si l’on essaie de distinguer ces deux états
par une mesure, alors le taux maximum de succès p max de l’opération
est donné par la b o r n ed eH e l s t r o m(exercice 4.4.8), qui est une fonction
de S
p max =
1
2
1+
1 − 4r(1 − r)S 2
=
1
2
1+
1 − 4r(1 − r)||ϕ|χ| 2
(4.2)
3. Afin que l’ordre des facteurs corresponde à celui du produit scalaire, il est parfois
commode de noter les amplitudes de probabilité a(χ ← ϕ) et les probabilités p(χ ← ϕ).
On peut aussi observer qu’à défaut d’être intuitive, l’équation (4.1) est au moins cohérente : la probabilité de trouver l’état en lui-même est un et d’après l’inégalité de Schwarz,
0 ≤||χ|ϕ| 2 ≤ 1.
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Postulat II : amplitudes de probabilité et probabilités
Si |ϕ est le vecteur représentant l’état du système et si |χ représente
un autre état physique, il existe une amplitude de probabilité a(ϕ → χ) de
trouver |ϕ dans l’état |χ, qui est donnée par un produit scalaire sur H :
a(ϕ → χ)=χ|ϕ. La probabilité p(ϕ → χ) pour l’état |ϕ de passer le test
|χ s’obtient en prenant le module carré ||χ|ϕ|
2
de cette amplitude
3
,
p(ϕ → χ)=|a(ϕ → χ)|
2 = |χ|ϕ|
2
(4.1)
ce qui constitue la r è g l ed eB o r n .Ajoutons quelques remarques pour
compléter l’énoncé des deux premiers postulats.
• Sauf mention explicite du contraire, nous supposons les vecteurs d’état
de norme unité. Si ce n’est pas le cas, il faut prendre garde à diviser par
les normes. Par exemple la règle de Born (4.1) devient
p(ϕ → χ)=
||χ|ϕ|
2
||χ|| 2 ||ϕ|| 2
• Les vecteurs |ϕ et |ϕ
′ =exp(iβ)|ϕ représentent le même état physique.
En effet on sait seulement mesurer des probabilités, et
||χ|ϕ|
2 = |χ|ϕ
′ |
2 ∀| χ∈H
Il n’est donc pas possible de distinguer entre |ϕ et |ϕ
′ , qui diffèrent par
un facteur de phase. En toute rigueur, un état physique est représenté
par un rayon, ou vecteur à un facteur de phase près, de l’espace de
Hilbert. L’ensemble des rayons forme un espace de Hilbert projectif :
dans le cas du spin 1/2, cet espace peut être identifié à la sphère de
Poincaré-Bloch. En revanche la superposition λ|ϕ + µ|χ représente un
état physique différent de λ|ϕ
′ + µ|χ ! Décider entre les phases qui
sont physiquement pertinentes et celles qui ne le sont pas, peut être un
exercice délicat, comme le montre la phase de Berry (section 12.6).
• Le module du produit scalaire S = ||χ|ϕ| de deux états quantiques |ϕ
et |χ est une mesure quantitative de leur “discernabilité” dans le sens
suivant : si l’on prépare une suite d’états |ϕ et |χ avec respectivement
une probabilité r et (1 − r), et si l’on essaie de distinguer ces deux états
par une mesure, alors le taux maximum de succès p max de l’opération
est donné par la b o r n ed eH e l s t r o m(exercice 4.4.8), qui est une fonction
de S
p max =
1
2
1+
1 − 4r(1 − r)S 2
=
1
2
1+
1 − 4r(1 − r)||ϕ|χ| 2
(4.2)
3. Afin que l’ordre des facteurs corresponde à celui du produit scalaire, il est parfois
commode de noter les amplitudes de probabilité a(χ ← ϕ) et les probabilités p(χ ← ϕ).
On peut aussi observer qu’à défaut d’être intuitive, l’équation (4.1) est au moins cohérente : la probabilité de trouver l’état en lui-même est un et d’après l’inégalité de Schwarz,
0 ≤||χ|ϕ| 2 ≤ 1.