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Physique quantique : Fondements
4.1 Vecteurs d’état et propriétés physiques
4.1.1 Principe de superposition
Nous avons appris au chapitre 3 à caractériser l’état de polarisation d’un
photon ou celui d’un spin 1/2 par un vecteur appartenant à un espace de
Hilbert complexe, l’espace des états. Le postulat I généralise les notions de
vecteur d’état et d’espace des états à tout système quantique.
Postulat I : espace des états
Les propriétés d’un système quantique sont entièrement définies par la
donnée de son vecteur d’état |ϕ, qui fixe la représentation mathématique de
l’état physique du système
2
. Le vecteur d’état est un élément d’un espace de
Hilbert complexe H appelé espace des états. Il sera commode de choisir |ϕ
unitaire, c’est-à-dire de norme un : ||ϕ||
2 = ϕ|ϕ =1.
Le fait qu’un état physique soit représenté par un vecteur implique sous
certaines conditions le principe de superposition, caractéristique de la linéarité
de la théorie : si |ϕ et |χ sont des vecteurs de H représentant des états
physiques, alors le vecteur unitaire de H
|ψ =
λ|ϕ + µ|χ
||λ|ϕ + µ|χ||
où λ et µ sont des nombres complexes, représente aussi un état physique.
Au chapitre précédent, nous avons défini les amplitudes de probabilité
comme produits scalaires de vecteurs appartenant à l’espace des états. Par
exemple, si |ϕ représente l’état de polarisation linéaire suivant Ox d’un photon : |ϕ = |x,e t|θ un état de polarisation linéaire suivant ˆ
n θ (3.3) :
|χ = |θ, l’amplitude de probabilité a(x → θ)=θ|x =c o sθ.N o u sa v o n s
également montré que le module carré de cette amplitude possède une interprétation physique remarquable : si l’on teste la polarisation en faisant passer
le photon |x à travers un analyseur linéaire d’orientation ˆ
n θ , on obtient une
probabilité de transmission
p(x → θ)=|a(x → θ)|
2 = |θ|x|
2 =cos
2 θ
qui est la probabilité pour le photon dans l’état |x de passer le test |θ.N ou s
allons généraliser les notions d’amplitude de probabilité et de test en énonçant
le postulat II.
2. Le point de vue de l’auteur est que le vecteur d’état décrit un système quantique
individuel. Ce point de vue est loin d’être universellement partagé et le lecteur trouvera
aisément d’autres interprétations, par exemple “le vecteur d’état décrit l’information disponible sur un système quantique”, ou “le vecteur d’état n’est pas la propriété d’un système
physique individuel, mais un protocole pour préparer un ensemble de tels états” ou encore
“la mécanique quantique est un ensemble de règles permettant de calculer la probabilité d’un
résultat expérimental” (§ 11.4.7). Cette diversité de points de vue n’a pas de conséquences
sur l’utilisation pratique de la mécanique quantique.
Physique quantique : Fondements
4.1 Vecteurs d’état et propriétés physiques
4.1.1 Principe de superposition
Nous avons appris au chapitre 3 à caractériser l’état de polarisation d’un
photon ou celui d’un spin 1/2 par un vecteur appartenant à un espace de
Hilbert complexe, l’espace des états. Le postulat I généralise les notions de
vecteur d’état et d’espace des états à tout système quantique.
Postulat I : espace des états
Les propriétés d’un système quantique sont entièrement définies par la
donnée de son vecteur d’état |ϕ, qui fixe la représentation mathématique de
l’état physique du système
2
. Le vecteur d’état est un élément d’un espace de
Hilbert complexe H appelé espace des états. Il sera commode de choisir |ϕ
unitaire, c’est-à-dire de norme un : ||ϕ||
2 = ϕ|ϕ =1.
Le fait qu’un état physique soit représenté par un vecteur implique sous
certaines conditions le principe de superposition, caractéristique de la linéarité
de la théorie : si |ϕ et |χ sont des vecteurs de H représentant des états
physiques, alors le vecteur unitaire de H
|ψ =
λ|ϕ + µ|χ
||λ|ϕ + µ|χ||
où λ et µ sont des nombres complexes, représente aussi un état physique.
Au chapitre précédent, nous avons défini les amplitudes de probabilité
comme produits scalaires de vecteurs appartenant à l’espace des états. Par
exemple, si |ϕ représente l’état de polarisation linéaire suivant Ox d’un photon : |ϕ = |x,e t|θ un état de polarisation linéaire suivant ˆ
n θ (3.3) :
|χ = |θ, l’amplitude de probabilité a(x → θ)=θ|x =c o sθ.N o u sa v o n s
également montré que le module carré de cette amplitude possède une interprétation physique remarquable : si l’on teste la polarisation en faisant passer
le photon |x à travers un analyseur linéaire d’orientation ˆ
n θ , on obtient une
probabilité de transmission
p(x → θ)=|a(x → θ)|
2 = |θ|x|
2 =cos
2 θ
qui est la probabilité pour le photon dans l’état |x de passer le test |θ.N ou s
allons généraliser les notions d’amplitude de probabilité et de test en énonçant
le postulat II.
2. Le point de vue de l’auteur est que le vecteur d’état décrit un système quantique
individuel. Ce point de vue est loin d’être universellement partagé et le lecteur trouvera
aisément d’autres interprétations, par exemple “le vecteur d’état décrit l’information disponible sur un système quantique”, ou “le vecteur d’état n’est pas la propriété d’un système
physique individuel, mais un protocole pour préparer un ensemble de tels états” ou encore
“la mécanique quantique est un ensemble de règles permettant de calculer la probabilité d’un
résultat expérimental” (§ 11.4.7). Cette diversité de points de vue n’a pas de conséquences
sur l’utilisation pratique de la mécanique quantique.