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Physique quantique : Fondements
3.3.9 Tenseur ε ijk
1. Montrer l’identité
k
ε ijk ε lmk = δ il δ jm − δ im δ jl
En déduire
a × ( b × c )=(a · c ) b − ( a · b ) c
Que vaut
jk
ε ijk ε ljk ?
2. On peut écrire la composante i du rotationnel d’un vecteur
A comme
(
∇×
A) i =
j,k
ε ijk ∂ j A k
avec ∂ j = ∂/∂x j . Montrer à partir de l’identité de la question 1 que
∇×
∇×
A =
∇(
∇·
A ) −∇
2
A
3.3.10 Mesures successives d’un spin 1/2
Un spin 1/2 est préparé dans un état up |ˆ a, + le long d’une direction
ˆ
a. Le spin est ensuite mesuré le long d’une direction intermédiaire ˆ b et finalement suivant une direction ˆ
c. Montrer que si la dernière mesure donne le
résultat |ˆ c, +, alors la probabilité pour que la mesure intermédiaire ait donné
le résultat | ˆ b, + est
p( ˆ b, +) =
1
1+tan
2 θ ab /2t a n
2 θ bc /2
où θ ab et θ bc sont les angles entre (ˆ a, ˆ b) et ( ˆ b, ˆ
c), respectivement. Suggestion :
utiliser la loi de Bayes pour les probabilités conditionnelles sous la forme
p(A|B)p(B)=p(B|A)p(A)
avec p(A|B)=probabilité de A conditionnellement à B.
3.3.11 Rotation de 2π d’un spin 1/2
On reprend l’interféromètre à neutrons de l’exercice 1.6.6, le plan ABDC
étant horizontal. Un déphasage variable δ est obtenu en faisant passer les
neutrons du faisceau I dans un champ magnétique uniforme et constant B
sur une longueur l, le champ magnétique étant perpendiculaire au plan de la
figure 3.16. Les neutrons sont supposés polarisés parallèlement au plan de la
Physique quantique : Fondements
3.3.9 Tenseur ε ijk
1. Montrer l’identité
k
ε ijk ε lmk = δ il δ jm − δ im δ jl
En déduire
a × ( b × c )=(a · c ) b − ( a · b ) c
Que vaut
jk
ε ijk ε ljk ?
2. On peut écrire la composante i du rotationnel d’un vecteur
A comme
(
∇×
A) i =
j,k
ε ijk ∂ j A k
avec ∂ j = ∂/∂x j . Montrer à partir de l’identité de la question 1 que
∇×
∇×
A =
∇(
∇·
A ) −∇
2
A
3.3.10 Mesures successives d’un spin 1/2
Un spin 1/2 est préparé dans un état up |ˆ a, + le long d’une direction
ˆ
a. Le spin est ensuite mesuré le long d’une direction intermédiaire ˆ b et finalement suivant une direction ˆ
c. Montrer que si la dernière mesure donne le
résultat |ˆ c, +, alors la probabilité pour que la mesure intermédiaire ait donné
le résultat | ˆ b, + est
p( ˆ b, +) =
1
1+tan
2 θ ab /2t a n
2 θ bc /2
où θ ab et θ bc sont les angles entre (ˆ a, ˆ b) et ( ˆ b, ˆ
c), respectivement. Suggestion :
utiliser la loi de Bayes pour les probabilités conditionnelles sous la forme
p(A|B)p(B)=p(B|A)p(A)
avec p(A|B)=probabilité de A conditionnellement à B.
3.3.11 Rotation de 2π d’un spin 1/2
On reprend l’interféromètre à neutrons de l’exercice 1.6.6, le plan ABDC
étant horizontal. Un déphasage variable δ est obtenu en faisant passer les
neutrons du faisceau I dans un champ magnétique uniforme et constant B
sur une longueur l, le champ magnétique étant perpendiculaire au plan de la
figure 3.16. Les neutrons sont supposés polarisés parallèlement au plan de la