3. Polarisation : photon et spin 1/2
111
3. Les conditions (3.45) ont pour solution soit (1) α − α x = φ soit (2)
α − α x = −φ. Montrer que dans le cas (1) σ x et σ y sont donnés par
σ x =
0
e
−iαx
e
−iαx
0
σ y =
0
−ie
−iαx
ie
−iαx
0
et que par rapport à la solution standard (3.47) cette solution corrrespond à
une simple rotation des axes autour de Oz.
4. Montrer que si l’on choisit α − α x = −φ la solution standard est
σ x =
01
10
σ y =
0 i
−i 0
Quelle est l’interprétation de ce résultat ?
3.3.7 Décomposition d’une matrice 2 × 2
1. On introduit la notation :
ˆ
σ 0 = I
ˆ
σ i = σ i ,i =1, 2, 3
Montrer que si une matrice 2 × 2 A vérifie Tr ( ˆ
σ i A)=0∀i =0 , ... ,3,a l o r s
A =0.
2. Soit la matrice 2 × 2
A = λ 0 I +
3
i=1
λ i σ i =
3
i=0
λ i ˆ
σ i
Montrer que
λ i =
1
2
Tr (Aˆ σ i )
En déduire qu’une matrice 2 × 2 quelconque peut toujours s’écrire
A =
3
i=0
λ i ˆ
σ i
À quelle condition doivent obéir les coefficients λ i lorsque A est hermitien,
A = A
† ?
3.3.8 Exponentielles de matrices de Pauli
1. Montrer que toute matrice 2×2 unitaire et de déterminant unité U peut
se mettre sous la forme (3.59). Suggestion : montrer que U est de la forme
ab
−b
∗ a
∗
et écrire a = a 1 + ia 2 , b = b 1 + ib 2 .M o n t r e rq u ea 1 =cosθ/2.
2. Trouver deux matrices 2 × 2 A et B telles que
e
A e
B = e
(A+B) avec [A, B] =0