3. Polarisation : photon et spin 1/2
107
3.3 Exercices
3.3.1 Polarisation elliptique et détermination
de la polarisation
1. La polarisation d’une onde lumineuse est décrite par deux paramètres
complexes
λ =cosθ e
iδx
µ =sinθ e
iδy
vérifiant |λ|
2 + |µ|
2 =1. De façon plus explicite, le champ électrique est
E x (t)=E 0 cos θ cos(ωt − δ x )=E 0 Re
cos θ e
iδx e
−iωt
E y (t)=E 0 sin θ cos(ωt − δ y )=E 0 Re
sin θ e
iδy e
−iωt
Déterminer les axes de l’ellipse parcourue par l’extrémité du champ électrique
et le sens de parcours.
2. On fait passer cette onde lumineuse à travers un polaroïd dont l’axe est
parallèle à Ox. Montrer que la mesure de l’intensité à la sortie du polaroïd
permet de déterminer θ.
3. On oriente maintenant le polaroïd suivant une direction faisant un angle
de π/4 avec Ox. Quelle est la réduction d’intensité à la sortie du polaroïd ?
Montrer que cette seconde mesure permet de déterminer la différence de phase
δ = δ y − δ x .
4. Vérifier que l’état |Φ ⊥ (3.19) orthogonal à |Φ
|Φ ⊥ = −µ
∗ |x + λ
∗ |y
est arrêté par le polariseur linéaire du polariseur (λ, µ).
5. Vérifier que les propriétés physiques du polariseur (λ, µ) sont inchangées
si l’on utilise la paramétrisation générale avec λ et µ complexes
λ =cosθ e
iηx
µ =sinθ e
iηy
avec η = η y − η x . Retrouver l’expression de P Φ .
3.3.2 Une stratégie optimale pour Ève
Supposons que Ève analyse la polarisation du photon envoyé par Alice à
l’aide d’un analyseur orienté . Si Alice oriente son polariseur , la probabilité
pour Ève de trouver un photon , que l’on associera au résultat +1 d’une
mesure, est de 100 %, mais elle est seulement de 50 % quand Alice utilise un
polariseur
↔
. Sa probabilité de mesurer +1 quand Alice envoie aléatoirement
ou
↔
est donc
p =
1
2
+
1
2
1
2
=
3
4
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3.3 Exercices
3.3.1 Polarisation elliptique et détermination
de la polarisation
1. La polarisation d’une onde lumineuse est décrite par deux paramètres
complexes
λ =cosθ e
iδx
µ =sinθ e
iδy
vérifiant |λ|
2 + |µ|
2 =1. De façon plus explicite, le champ électrique est
E x (t)=E 0 cos θ cos(ωt − δ x )=E 0 Re
cos θ e
iδx e
−iωt
E y (t)=E 0 sin θ cos(ωt − δ y )=E 0 Re
sin θ e
iδy e
−iωt
Déterminer les axes de l’ellipse parcourue par l’extrémité du champ électrique
et le sens de parcours.
2. On fait passer cette onde lumineuse à travers un polaroïd dont l’axe est
parallèle à Ox. Montrer que la mesure de l’intensité à la sortie du polaroïd
permet de déterminer θ.
3. On oriente maintenant le polaroïd suivant une direction faisant un angle
de π/4 avec Ox. Quelle est la réduction d’intensité à la sortie du polaroïd ?
Montrer que cette seconde mesure permet de déterminer la différence de phase
δ = δ y − δ x .
4. Vérifier que l’état |Φ ⊥ (3.19) orthogonal à |Φ
|Φ ⊥ = −µ
∗ |x + λ
∗ |y
est arrêté par le polariseur linéaire du polariseur (λ, µ).
5. Vérifier que les propriétés physiques du polariseur (λ, µ) sont inchangées
si l’on utilise la paramétrisation générale avec λ et µ complexes
λ =cosθ e
iηx
µ =sinθ e
iηy
avec η = η y − η x . Retrouver l’expression de P Φ .
3.3.2 Une stratégie optimale pour Ève
Supposons que Ève analyse la polarisation du photon envoyé par Alice à
l’aide d’un analyseur orienté . Si Alice oriente son polariseur , la probabilité
pour Ève de trouver un photon , que l’on associera au résultat +1 d’une
mesure, est de 100 %, mais elle est seulement de 50 % quand Alice utilise un
polariseur
↔
. Sa probabilité de mesurer +1 quand Alice envoie aléatoirement
ou
↔
est donc
p =
1
2
+
1
2
1
2
=
3
4