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Physique quantique : Fondements
Supposons le spin orienté au temps t =0dans la direction ˆ
n
|χ(0) =cosθ/2exp(−iφ/2)|+ +sinθ/2exp(iφ/2)|−−
ceci donnera au temps t
|χ(t) =cosθ/2exp[−i(φ + ωt)/2]|+ +sinθ/2exp[i(φ + ωt)/2]|−− (3.64)
Si au temps t =0 , le spin est orienté suivant la direction ˆ
n définie par les
angles θ et φ :
S =
1
2 ˆ n,a ut e m p st le spin sera orienté dans la direction
(θ, φ + ωt) : le sens de rotation est le sens trigonométrique pour q<0 et
coïncide bien sûr avec celui du spin classique. La valeur moyenne du spin
précesse autour de
B avec la fréquence de Larmor.
La loi d’évolution (3.64) va nous permettre d’introduire une relation entre
la dispersion ∆E sur l’énergie et le temps caractéristique d’évolution d’un
système quantique, qui sera donnée sous la forme générale de l’inégalité de
Heisenberg temporelle au § 4.2.4. Récrivons (3.64) en utilisant les notations
c + et c − pour les composantes de |χ(0) dans la base {|+, |−−}
c + =cosθ/2exp(−iφ/2)
c − =sinθ/2exp(iφ/2)
et définissons les fréquences ω ±
ω + =
E +
=+
1
2
ωω − =
E −
= −
1
2
ω
ce qui donne pour |χ(t)
|χ(t) = c + exp(−iω + t)|+ + c − exp(−iω − t)|−−
Calculons la probabilité de trouver le vecteur d’état |χ(t) dans un état |ψ
arbitraire
||ψ|χ(t)|
2
= |c + |
2 ||ψ|+|
2 + |c − |
2 ||ψ|−−|
2
+2 R e
c
∗
+ c − exp[i(ω + − ω − )t]+|ψψ|−−
(3.65)
Les deux premiers termes de (3.65) sont indépendants du temps et le troisième
oscille avec une fréquence
ω + − ω − =
E + − E −
=
∆E
∆E est la dispersion sur l’énergie : l’énergie du système n’a pas une valeur bien
définie car le système passe d’un niveau à l’autre avec un temps caractéristique
∆t ≃ /∆E, ce que l’on traduit par une relation entre dispersion sur l’énergie
et temps caractéristique d’évolution
∆E ∆ t ≃
(3.66)
Cette relation, que nous démontrerons sous la forme d’une inégalité par une
méthode plus générale au § 4.2.4, est un exemple d’inégalité de Heisenberg
temporelle.