3. Polarisation : photon et spin 1/2
105
nien sera représenté par une matrice 2×2.Nousadmettrons
23
qu’en mécanique
quantique le hamiltonien conserve formellement l’expression (3.61), à condition de remplacer la quantité classique s z par l’opérateur S z , la projection
suivant Oz de l’opérateur de spin
S
H = ωS z =
ω
2
10
0 −1
(3.62)
La deuxième forme de H donne sa représentation matricielle dans une base
où S z est diagonal. Les valeurs propres de H sont +ω/2 et −ω/2.C es o n t
les deux valeurs possibles de l’énergie et les vecteurs propres correspondants
sont bien sûr ceux de S z : |+ et |−−. Le schéma des niveaux d’énergie est
donné sur la figure 3.14 pour ω>0, et les deux niveaux sont appelés niveaux
Zeeman d’un spin 1/2 dans un champ
B.
ω
E + =
1
2 ω
E − =−
1
2 ω
Fig. 3.14 – Spectre du hamiltonien (3.62).
Supposons qu’au temps t =0 , le spin se trouve dans l’état propre |+, ˆ
n.
On peut alors se poser la question suivante : quel sera l’état de spin à un
temps t ultérieur ? Pour répondre à cette question, nous avons besoin d’un
postulat supplémentaire. Ce postulat, qui sera explicité avec plus de détails
au chapitre suivant, stipule que le vecteur d’état |χ(t) au temps t se déduit
du vecteur d’état au temps t =0, |χ(t =0),p a r
|χ(t) =exp
−
iHt
|χ(0)
(3.63)
Cette loi d’évolution est particulièrement simple pour les vecteurs propres de
H, appelés états stationnaires
|+→exp
−
iωt
2
|+| − − → exp
iωt
2
|−−
Si |ψ est un état arbitraire, la probabilité de trouver un état stationnaire
dans |ψ est indépendante du temps : par exemple
ψ
exp
−
iHt
+
2
= |ψ|+|
2
23. En dernier ressort, l’expression du hamiltonien trouve sa justification dans son accord
avec l’expérience.
105
nien sera représenté par une matrice 2×2.Nousadmettrons
23
qu’en mécanique
quantique le hamiltonien conserve formellement l’expression (3.61), à condition de remplacer la quantité classique s z par l’opérateur S z , la projection
suivant Oz de l’opérateur de spin
S
H = ωS z =
ω
2
10
0 −1
(3.62)
La deuxième forme de H donne sa représentation matricielle dans une base
où S z est diagonal. Les valeurs propres de H sont +ω/2 et −ω/2.C es o n t
les deux valeurs possibles de l’énergie et les vecteurs propres correspondants
sont bien sûr ceux de S z : |+ et |−−. Le schéma des niveaux d’énergie est
donné sur la figure 3.14 pour ω>0, et les deux niveaux sont appelés niveaux
Zeeman d’un spin 1/2 dans un champ
B.
ω
E + =
1
2 ω
E − =−
1
2 ω
Fig. 3.14 – Spectre du hamiltonien (3.62).
Supposons qu’au temps t =0 , le spin se trouve dans l’état propre |+, ˆ
n.
On peut alors se poser la question suivante : quel sera l’état de spin à un
temps t ultérieur ? Pour répondre à cette question, nous avons besoin d’un
postulat supplémentaire. Ce postulat, qui sera explicité avec plus de détails
au chapitre suivant, stipule que le vecteur d’état |χ(t) au temps t se déduit
du vecteur d’état au temps t =0, |χ(t =0),p a r
|χ(t) =exp
−
iHt
|χ(0)
(3.63)
Cette loi d’évolution est particulièrement simple pour les vecteurs propres de
H, appelés états stationnaires
|+→exp
−
iωt
2
|+| − − → exp
iωt
2
|−−
Si |ψ est un état arbitraire, la probabilité de trouver un état stationnaire
dans |ψ est indépendante du temps : par exemple
ψ
exp
−
iHt
+
2
= |ψ|+|
2
23. En dernier ressort, l’expression du hamiltonien trouve sa justification dans son accord
avec l’expérience.