3. Polarisation : photon et spin 1/2
103
Pour établir la seconde identité, on remarque que ( σ · ˆ
p)
2 =1d’après (3.50),
et en développant l’exponentielle
exp
−i
θ
2
σ · ˆ
p
= I +
−iθ
2
σ · ˆ
p +
1
2!
−iθ
2
2
I +
1
3!
−iθ
2
3
σ · ˆ
p + ···
On reconnaît en facteur de I le développement de cos θ/2 et en facteur de
−i σ · ˆ
p celui de sin θ/2, ce qui montre la seconde égalité dans (3.59). Pour
vérifier que l’opérateur U [R ˆ
p (θ)] est bien l’opérateur qui effectue une rotation
de θ autour de l’axe ˆ
p, prenons ˆ
p =(− sin φ, cos φ, 0) : une rotation de θ autour
de cet axe amène l’axe Oz sur ˆ
n.A v eccec hoixdeˆ p, nous écrivons sous forme
matricielle
exp
−i
θ
2
σ · ˆ
p
=
cos θ/2
−e
−iφ sin θ/2
e
iφ sin θ/2c o s θ/2
(3.60)
Cette matrice ne semble pas coïncider avec la matrice (3.58), mais la différence est absorbée dans des facteurs de phase qui ne sont pas physiquement
pertinents. On peut aisément vérifier que
U [R ˆ
p (θ)]|+ = e
iφ/2 |+, ˆ
n
U [R ˆ
p (θ)]|−− = e
−iφ/2 |−, ˆ
n
ou remarquer que
U [R ˆ
p (θ)] = D
(1/2) (θ, φ) e
iφσz /2 = D
(1/2) (θ, φ)U [R ˆ
z (−φ)]
et qu’une rotation de −φ autour de Oz laisse invariant l’axe Oz : dans cette
opération, les états |+ et |−− sont multipliés par un facteur de phase. Il est
commode de visualiser géométriquement un état de spin |χ en se donnant
un vecteur unitaire, le vecteur de Bloch b, dont on trouvera la généralisation
au § 11.1.3, qui définit un point sur la sphère de rayon unité, la sphère de
Poincaré-Bloch
b = σ = χ| σ|χ
Ce vecteur est représenté sur la figure 3.13 dans les cas suivants
|χ = |±±
|χ = |+, ˆ
x| χ = |+, ˆ
n
La forme (3.56) des vecteurs propres de S ˆ
n permet de calculer les amplitudes
de probabilité
a(+ → [+, ˆ
n]) = +, ˆ
n|+ =cosθ/2 e
iφ/2
a(+ → [−, ˆ
n]) = −, ˆ
n|+ = − sin θ/2 e
iφ/2
et les probabilités correspondantes
p(+ → [+, ˆ
n]) = ||+, ˆ
n|+|
2 =cos
2 θ/2
p(+ → [−, ˆ
n]) = ||−, ˆ
n|+|
2 =sin
2 θ/2
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Pour établir la seconde identité, on remarque que ( σ · ˆ
p)
2 =1d’après (3.50),
et en développant l’exponentielle
exp
−i
θ
2
σ · ˆ
p
= I +
−iθ
2
σ · ˆ
p +
1
2!
−iθ
2
2
I +
1
3!
−iθ
2
3
σ · ˆ
p + ···
On reconnaît en facteur de I le développement de cos θ/2 et en facteur de
−i σ · ˆ
p celui de sin θ/2, ce qui montre la seconde égalité dans (3.59). Pour
vérifier que l’opérateur U [R ˆ
p (θ)] est bien l’opérateur qui effectue une rotation
de θ autour de l’axe ˆ
p, prenons ˆ
p =(− sin φ, cos φ, 0) : une rotation de θ autour
de cet axe amène l’axe Oz sur ˆ
n.A v eccec hoixdeˆ p, nous écrivons sous forme
matricielle
exp
−i
θ
2
σ · ˆ
p
=
cos θ/2
−e
−iφ sin θ/2
e
iφ sin θ/2c o s θ/2
(3.60)
Cette matrice ne semble pas coïncider avec la matrice (3.58), mais la différence est absorbée dans des facteurs de phase qui ne sont pas physiquement
pertinents. On peut aisément vérifier que
U [R ˆ
p (θ)]|+ = e
iφ/2 |+, ˆ
n
U [R ˆ
p (θ)]|−− = e
−iφ/2 |−, ˆ
n
ou remarquer que
U [R ˆ
p (θ)] = D
(1/2) (θ, φ) e
iφσz /2 = D
(1/2) (θ, φ)U [R ˆ
z (−φ)]
et qu’une rotation de −φ autour de Oz laisse invariant l’axe Oz : dans cette
opération, les états |+ et |−− sont multipliés par un facteur de phase. Il est
commode de visualiser géométriquement un état de spin |χ en se donnant
un vecteur unitaire, le vecteur de Bloch b, dont on trouvera la généralisation
au § 11.1.3, qui définit un point sur la sphère de rayon unité, la sphère de
Poincaré-Bloch
b = σ = χ| σ|χ
Ce vecteur est représenté sur la figure 3.13 dans les cas suivants
|χ = |±±
|χ = |+, ˆ
x| χ = |+, ˆ
n
La forme (3.56) des vecteurs propres de S ˆ
n permet de calculer les amplitudes
de probabilité
a(+ → [+, ˆ
n]) = +, ˆ
n|+ =cosθ/2 e
iφ/2
a(+ → [−, ˆ
n]) = −, ˆ
n|+ = − sin θ/2 e
iφ/2
et les probabilités correspondantes
p(+ → [+, ˆ
n]) = ||+, ˆ
n|+|
2 =cos
2 θ/2
p(+ → [−, ˆ
n]) = ||−, ˆ
n|+|
2 =sin
2 θ/2