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Physique quantique : Fondements
utilisées pour des problèmes où l’espace des états est à deux dimensions, même
si le problème physique n’a rien à voir avec un spin 1/2. Elles sont par exemple
très utiles pour traiter un modèle standard de la physique atomique, l’atome
dit “à deux niveaux” (voir la section 5.4 et le § 15.3.1).
Les vecteurs propres |+, ˆ
n et |−, ˆ
n de S ˆ
n =
1
2 σ · ˆ
n se déduisent de (3.41)
avec β = θ et α = ϕ
|+, ˆ
n =
e
−iφ/2 cos θ/2
e iφ/2 sin θ/2
|−, ˆ
n =
−e
−iφ/2 sin θ/2
e iφ/2 cos θ/2
(3.56)
Les états |+, ˆ
n et |−, ˆ
n sont les transformés des états |+ et |−− par une
rotation qui amène l’axe Oz sur l’axe ˆ
n : un choix possible, cohérent avec celui
qui sera fait ultérieurement au chapitre 9, consiste à effectuer une première
rotation de θ autour de Oy, suivie d’une rotation de φ autour de Oz.Onpeut
écrire (3.56) sous la forme
|+, ˆ
n = D
(1/2)
++ (θ, φ)|+ + D
(1/2)
−+ (θ, φ)|−−
|−, ˆ
n = D
(1/2)
+− (θ, φ)|+ + D
(1/2)
−− (θ, φ)|−−
(3.57)
Cette équation définit une matrice
22 D
(1/2) (θ, φ), appelée matrice de rotation
pour le spin 1/2
D
(1/2) (θ, φ)=
e
−iφ/2 cos θ/2 −e
−iφ/2 sin θ/2
e
iφ/2 sin θ/2
e
iφ/2 cos θ/2
(3.58)
Cette matrice est unitaire, car elle effectue un changement de base dans H,et
de plus on vérifie qu’elle est de déterminant 1, et c’est donc une matrice appartenant au groupe SU(2) : cf. exercice 7.5.2. Il est intéressant de considérer
les rotations de 2π, qui ramènent le système physique à sa position initiale.
On remarque que par exemple D
1/2 (θ =2π, φ =0)=−I. Dans une rotation
de 2π autour de Oy, le vecteur d’état |χ→− | χ !M a i si ln ’ yal àa u c u n
paradoxe : les vecteurs |χ et −|χ représentent le même état physique, et,
comme il se doit, une rotation de 2π ne modifie pas l’état physique. Ce comportement du spin 1/2 est à contraster avec celui des photons : d’après (3.28),
exp(−2iπΣ z )=+ I, et le vecteur d’état est inchangé dans une rotation de
2π. Nous observons là une différence remarquable entre spins entiers et spins
demi-entiers, sur laquelle nous reviendrons au chapitre 9.
Nous allons mettre la matrice de rotation D
(1/2) (θ, φ) sous une forme qui
nous sera très utile pour la suite. Appelons R ˆ
p (θ) la rotation dans R
3 d’angle
θ autour d’un vecteur unitaire ˆ
p. Nous allons montrer que l’opérateur unitaire
de rotation U [R ˆ
p (θ)] pour un spin 1/2, est donné par
U [R ˆ
p (θ)] = exp
−i
θ
2
σ · ˆ
p
= I cos
θ
2
− i( σ · ˆ
p)sin
θ
2
(3.59)
22. On remarque que cette matrice s’écrit en fonction de θ/2,e tn o nd eθ comme dans
le cas d’un photon (3.28) : le photon a un spin 1 et non 1/2 !
Physique quantique : Fondements
utilisées pour des problèmes où l’espace des états est à deux dimensions, même
si le problème physique n’a rien à voir avec un spin 1/2. Elles sont par exemple
très utiles pour traiter un modèle standard de la physique atomique, l’atome
dit “à deux niveaux” (voir la section 5.4 et le § 15.3.1).
Les vecteurs propres |+, ˆ
n et |−, ˆ
n de S ˆ
n =
1
2 σ · ˆ
n se déduisent de (3.41)
avec β = θ et α = ϕ
|+, ˆ
n =
e
−iφ/2 cos θ/2
e iφ/2 sin θ/2
|−, ˆ
n =
−e
−iφ/2 sin θ/2
e iφ/2 cos θ/2
(3.56)
Les états |+, ˆ
n et |−, ˆ
n sont les transformés des états |+ et |−− par une
rotation qui amène l’axe Oz sur l’axe ˆ
n : un choix possible, cohérent avec celui
qui sera fait ultérieurement au chapitre 9, consiste à effectuer une première
rotation de θ autour de Oy, suivie d’une rotation de φ autour de Oz.Onpeut
écrire (3.56) sous la forme
|+, ˆ
n = D
(1/2)
++ (θ, φ)|+ + D
(1/2)
−+ (θ, φ)|−−
|−, ˆ
n = D
(1/2)
+− (θ, φ)|+ + D
(1/2)
−− (θ, φ)|−−
(3.57)
Cette équation définit une matrice
22 D
(1/2) (θ, φ), appelée matrice de rotation
pour le spin 1/2
D
(1/2) (θ, φ)=
e
−iφ/2 cos θ/2 −e
−iφ/2 sin θ/2
e
iφ/2 sin θ/2
e
iφ/2 cos θ/2
(3.58)
Cette matrice est unitaire, car elle effectue un changement de base dans H,et
de plus on vérifie qu’elle est de déterminant 1, et c’est donc une matrice appartenant au groupe SU(2) : cf. exercice 7.5.2. Il est intéressant de considérer
les rotations de 2π, qui ramènent le système physique à sa position initiale.
On remarque que par exemple D
1/2 (θ =2π, φ =0)=−I. Dans une rotation
de 2π autour de Oy, le vecteur d’état |χ→− | χ !M a i si ln ’ yal àa u c u n
paradoxe : les vecteurs |χ et −|χ représentent le même état physique, et,
comme il se doit, une rotation de 2π ne modifie pas l’état physique. Ce comportement du spin 1/2 est à contraster avec celui des photons : d’après (3.28),
exp(−2iπΣ z )=+ I, et le vecteur d’état est inchangé dans une rotation de
2π. Nous observons là une différence remarquable entre spins entiers et spins
demi-entiers, sur laquelle nous reviendrons au chapitre 9.
Nous allons mettre la matrice de rotation D
(1/2) (θ, φ) sous une forme qui
nous sera très utile pour la suite. Appelons R ˆ
p (θ) la rotation dans R
3 d’angle
θ autour d’un vecteur unitaire ˆ
p. Nous allons montrer que l’opérateur unitaire
de rotation U [R ˆ
p (θ)] pour un spin 1/2, est donné par
U [R ˆ
p (θ)] = exp
−i
θ
2
σ · ˆ
p
= I cos
θ
2
− i( σ · ˆ
p)sin
θ
2
(3.59)
22. On remarque que cette matrice s’écrit en fonction de θ/2,e tn o nd eθ comme dans
le cas d’un photon (3.28) : le photon a un spin 1 et non 1/2 !