3. Polarisation : photon et spin 1/2
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Ces matrices vérifient des relations importantes souvent utilisées
σ
2
x = σ
2
y = σ
2
z = Iσ x σ y = iσ z
et permutations
(3.48)
que l’on peut rassembler en
σ i σ j = δ ij + i
k
ε ijk σ k
(3.49)
où les indices (i, j, k) prennent les valeurs (x, y, z) et ε ijk est le tenseur complètement antisymétrique, égal à +1 si (ijk) est une permutation paire de
(xyz),à−1 dans le cas d’une permutation impaire et à zéro dans tous les
autres cas
20
. Une forme équivalente de (3.49) est la suivante : si a et b sont
deux vecteurs
( σ · a)( σ · b)= a · b + i σ · ( a × b)
(3.50)
où l’on a utilisé pour le produit vectoriel
( a × b) i =
jk
ε ijk a j b k
(3.51)
L’équation (3.49) implique aussi les relations de commutation
21
[σ i ,σ j ]=2i
k
ε ijk σ k
(3.52)
ou, de façon équivalente pour les composantes du spin
[S i ,S j ]=i
k
ε ijk S k
(3.53)
Les matrices de Pauli forment avec la matrice identité I une base pour l’espace
vectoriel des matrices sur H. En effet toute matrice 2 × 2 peut s’écrire
A = λ 0 I +
i
λ i σ i
(3.54)
où les coefficients λ 0 et λ i sont réels pour une matrice hermitienne A = A
† ;
ils sont donnés par (exercice 3.3.7)
λ 0 =
1
2
Tr Aλ i =
1
2
Tr Aσ i
(3.55)
Le fait que les matrices de Pauli forment une base pour les matrices sur tout
espace de Hilbert à deux dimensions entraîne que ces matrices sont souvent
20. Par exemple εyzx =1, εyxz = −1 et εxxz =0.
21. En écrivant les indices explicitement : [σx,σy]=2 i σz et deux autres relations obtenues par permutation circulaire des indices (x, y, z).