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Physique quantique : Fondements
O
z
φ
θ
ˆ
n
y
x
Fig. 3.12 – Orientation de ˆ
n.
On doit donc avoir β = ±θ. Choisissons la solution β = θ et calculons les
matrices représentatives de S x et S y dans la base (3.34) ; comme θ = β = π/2
dans les deux cas, (3.40) devient
S x =
1
2
0
e
−iαx
e
iαx
0
S y =
1
2
0
e
−iαy
e
iαy
0
Ceci donne pour les valeurs moyennes
S x =
1
2
sin θ cos(α − α x )
S y =
1
2
sin θ cos(α − α y )
On obtient par identification avec (3.43)
cos(α − α x )=cosφ
cos(α − α y )=sinφ
(3.45)
La solution de (3.45) n’est pas unique
19
; nous choisirons par convention
α x =0
α y = π/2
Avec ce choix, α = φ et les opérateurs S x , S y et S z dans la base (3.34) prennent
la forme
S x =
1
2
σ x
S y =
1
2
σ y
S z =
1
2
σ z
(3.46)
Les matrices σ x , σ y et σ z sont appelées matrices de Pauli
σ x =
01
10
σ y =
0 −i
i 0
σ z =
10
0 −1
(3.47)
19. Les autres solutions correspondent à un système d’axes obtenu par rotation autour de
Oz des axes Ox et Oy ou à un système d’axes obtenu par inversion de Oy : cf. exercice 3.3.6.