98
Physique quantique : Fondements
On doit avoir λ + + λ − =0et λ + λ − = −1 soit
a + c =0 ac −|b|
2 = −1 ⇒ a
2 + |b|
2 =1
Paramétrons a et b à l’aide de deux angles α et β : a =c o s β et b =
exp(−iα)sinβ. Nous obtenons pour S ˆ
n
S ˆ
n =
1
2
cos β
e
−iα sin β
e
iα sin β
− cos β
(3.40)
dont les vecteurs propres sont à un facteur de phase près (cf. (2.35))
|+, ˆ
n =
e
−iα/2 cos β/2
e iα/2 sin β/2
|−, ˆ
n =
−e
−iα/2 sin β/2
e iα/2 cos β/2
(3.41)
3.2.4 Rotation d’un spin 1/2
Il nous reste à trouver une interprétation géométrique aux angles α et β.
Nous allons faire l’hypothèse que la valeur moyenne
S, dont les composantes
sont (S x , S y , S z ), se transforme par rotation comme un vecteur de l’espace à trois dimensions, c’est-à-dire comme l’objet classique s correspondant.
Reprenons l’expérience type polariseur/analyseur. Dans un premier temps, le
champ magnétique du polariseur est orienté suivant Oz,e td em ê m ep o u r
l’analyseur. Nous savons que dans ce cas 100 % des spins traversent l’analyseur. Si le champ de l’analyseur est orienté antiparallèlement à Oz,a l o r s
aucun spin ne le traverse. Nous pouvons exprimer ce résultat sous la forme
suivante : à la sortie du polariseur, la valeur moyenne de S z , S z , est égale à
/2. Orientons maintenant le champ magnétique de l’analyseur suivant Ox :
on constate expérimentalement que les spins ont alors une chance sur deux
d’être déviés vers les x positifs et une chance sur deux d’être déviés vers les
x négatifs, ce qui correspond à une valeur moyenne nulle de S x : S x =0 .
Ce résultat ne doit pas surprendre. Un premier argument fait appel à un raisonnement classique : un spin classique parallèle à Oz n’est pas dévié par un
gradient de champ suivant Ox. Un deuxième argument plus général fait appel
à l’invariance par rotation
17
: dans notre problème, les variables de spin sont
découplées des variables spatiales liées à la propagation de l’atome et, pour
les rotations du spin, le problème est invariant par rotation autour de Oz :
en l’absence de direction privilégiée dans le plan xOy, S x = S y =0 .L e
vecteur
S a donc pour composantes (0, 0, /2).
Supposons maintenant que l’expérimentateur décide d’utiliser un système
d’axes x
′ Oz
′
obtenu à partir de xOz par une rotation d’angle −θ autour de
Oy (figure 3.11a). Si
S est un vecteur, ses composantes dans le nouveau
système d’axes seront /2(sin θ, 0, cos θ). On obtient une situation physique
17. On peut aussi invoquer l’invariance par parité sans faire appel au découplage des
variables de spin et des variables spatiales : voir exercice 8.6.12.
Physique quantique : Fondements
On doit avoir λ + + λ − =0et λ + λ − = −1 soit
a + c =0 ac −|b|
2 = −1 ⇒ a
2 + |b|
2 =1
Paramétrons a et b à l’aide de deux angles α et β : a =c o s β et b =
exp(−iα)sinβ. Nous obtenons pour S ˆ
n
S ˆ
n =
1
2
cos β
e
−iα sin β
e
iα sin β
− cos β
(3.40)
dont les vecteurs propres sont à un facteur de phase près (cf. (2.35))
|+, ˆ
n =
e
−iα/2 cos β/2
e iα/2 sin β/2
|−, ˆ
n =
−e
−iα/2 sin β/2
e iα/2 cos β/2
(3.41)
3.2.4 Rotation d’un spin 1/2
Il nous reste à trouver une interprétation géométrique aux angles α et β.
Nous allons faire l’hypothèse que la valeur moyenne
S, dont les composantes
sont (S x , S y , S z ), se transforme par rotation comme un vecteur de l’espace à trois dimensions, c’est-à-dire comme l’objet classique s correspondant.
Reprenons l’expérience type polariseur/analyseur. Dans un premier temps, le
champ magnétique du polariseur est orienté suivant Oz,e td em ê m ep o u r
l’analyseur. Nous savons que dans ce cas 100 % des spins traversent l’analyseur. Si le champ de l’analyseur est orienté antiparallèlement à Oz,a l o r s
aucun spin ne le traverse. Nous pouvons exprimer ce résultat sous la forme
suivante : à la sortie du polariseur, la valeur moyenne de S z , S z , est égale à
/2. Orientons maintenant le champ magnétique de l’analyseur suivant Ox :
on constate expérimentalement que les spins ont alors une chance sur deux
d’être déviés vers les x positifs et une chance sur deux d’être déviés vers les
x négatifs, ce qui correspond à une valeur moyenne nulle de S x : S x =0 .
Ce résultat ne doit pas surprendre. Un premier argument fait appel à un raisonnement classique : un spin classique parallèle à Oz n’est pas dévié par un
gradient de champ suivant Ox. Un deuxième argument plus général fait appel
à l’invariance par rotation
17
: dans notre problème, les variables de spin sont
découplées des variables spatiales liées à la propagation de l’atome et, pour
les rotations du spin, le problème est invariant par rotation autour de Oz :
en l’absence de direction privilégiée dans le plan xOy, S x = S y =0 .L e
vecteur
S a donc pour composantes (0, 0, /2).
Supposons maintenant que l’expérimentateur décide d’utiliser un système
d’axes x
′ Oz
′
obtenu à partir de xOz par une rotation d’angle −θ autour de
Oy (figure 3.11a). Si
S est un vecteur, ses composantes dans le nouveau
système d’axes seront /2(sin θ, 0, cos θ). On obtient une situation physique
17. On peut aussi invoquer l’invariance par parité sans faire appel au découplage des
variables de spin et des variables spatiales : voir exercice 8.6.12.