3. Polarisation : photon et spin 1/2
97
mesurer expérimentalement les probabilités p(+ → [+, ˆ
n]) = ||+, ˆ
n|+|
2
et
p(+ → [−, ˆ
n]) = ||−, ˆ
n|+|
2
; comme dans la section précédente, nous supposons que ces probabilités sont données par le module carré de produits
scalaires. De même que les états
15 |+ et |−−, les états |+, ˆ
n et |−, ˆ
n sont orthogonaux : +, ˆ
n|−, ˆ
n =0. Si le polariseur et l’analyseur sont orientés dans
la même direction, un état préparé par le polariseur est transmis à 100 % par
l’analyseur, et à 0 % si leurs orientations sont opposées
16
: le résultat du test de
la polarisation est certain. Si les directions ne sont pas les mêmes, on observe
seulement une certaine probabilité de transmission. De même que les bases
d’états de polarisation d’un photon {|x, |y} et {|θ, |θ ⊥ } étaient incompatibles (§ 3.1.2), les bases {|+, |−−} et {|+, ˆ
n, |−, ˆ
n} sont incompatibles pour
les états de spin 1/2 si ˆ
n =ˆ z.
Nous allons maintenant utiliser l’invariance par rotation pour déterminer
les probabilités de transmission : la physique de ce problème ne doit pas
dépendre de l’orientation du système d’axes. La première conséquence de cette
invariance est que la direction Oz n’a aucune raison d’être privilégiée, et qu’il
doit exister un opérateur hermitien S ˆ
n =
S · ˆ
n, projection du spin sur l’axe
ˆ
n, ayant des valeurs propres /2 et −/2 et la forme (3.36) dans une base
{|+, ˆ
n, |−, ˆ
n} qui reste à déterminer. L’opérateur S ˆ
n s’écrira en fonction de
ses valeurs propres et de ses vecteurs propres
S ˆ
n =
1
2
|+, ˆ
n+, ˆ
n|−|−, ˆ
n−, ˆ
n|
(3.37)
Introduisons la notion de valeur moyenne de la composante suivant ˆ
n du spin,
que nous noterons S ˆ
n . Comme la déviation dans la direction ±ˆ n correspond
à une valeur s ˆ
n = ±/2 lorsque le spin est dans un état |χ arbitraire, cette
valeur moyenne, notée S ˆ
n , sera donnée par
S ˆ
n =
1
2
p(χ → [+, ˆ
n]) − p(χ → [−, ˆ
n]
=
1
2
χ|+, ˆ
n+, ˆ
n|χ−−χ|−, ˆ
n−, ˆ
n|χ
= χ|
1
2
|+, ˆ
n+, ˆ
n|−|−, ˆ
n−, ˆ
n|
|χ
= χ|S ˆ
n |χ
(3.38)
La matrice représentative de S ˆ
n dans la base (3.34) où S z est diagonal est
a priori donnée par la matrice hermitienne 2 × 2 la plus générale de valeurs
propres ±/2
S ˆ
n =
1
2
ab
b
∗ c
=
1
2
A
(3.39)
où a et c sont des nombres réels. L’équation aux valeurs propres λ ± de la
matrice A s’écrit
λ
2 − (a + c)λ + ac −|b|
2 =0
15. Les notations |+ et |−− sont donc des notations abrégées pour |+, ˆ
z et |−, ˆ
z.
16. Et non orthogonales comme dans le cas des photons !
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mesurer expérimentalement les probabilités p(+ → [+, ˆ
n]) = ||+, ˆ
n|+|
2
et
p(+ → [−, ˆ
n]) = ||−, ˆ
n|+|
2
; comme dans la section précédente, nous supposons que ces probabilités sont données par le module carré de produits
scalaires. De même que les états
15 |+ et |−−, les états |+, ˆ
n et |−, ˆ
n sont orthogonaux : +, ˆ
n|−, ˆ
n =0. Si le polariseur et l’analyseur sont orientés dans
la même direction, un état préparé par le polariseur est transmis à 100 % par
l’analyseur, et à 0 % si leurs orientations sont opposées
16
: le résultat du test de
la polarisation est certain. Si les directions ne sont pas les mêmes, on observe
seulement une certaine probabilité de transmission. De même que les bases
d’états de polarisation d’un photon {|x, |y} et {|θ, |θ ⊥ } étaient incompatibles (§ 3.1.2), les bases {|+, |−−} et {|+, ˆ
n, |−, ˆ
n} sont incompatibles pour
les états de spin 1/2 si ˆ
n =ˆ z.
Nous allons maintenant utiliser l’invariance par rotation pour déterminer
les probabilités de transmission : la physique de ce problème ne doit pas
dépendre de l’orientation du système d’axes. La première conséquence de cette
invariance est que la direction Oz n’a aucune raison d’être privilégiée, et qu’il
doit exister un opérateur hermitien S ˆ
n =
S · ˆ
n, projection du spin sur l’axe
ˆ
n, ayant des valeurs propres /2 et −/2 et la forme (3.36) dans une base
{|+, ˆ
n, |−, ˆ
n} qui reste à déterminer. L’opérateur S ˆ
n s’écrira en fonction de
ses valeurs propres et de ses vecteurs propres
S ˆ
n =
1
2
|+, ˆ
n+, ˆ
n|−|−, ˆ
n−, ˆ
n|
(3.37)
Introduisons la notion de valeur moyenne de la composante suivant ˆ
n du spin,
que nous noterons S ˆ
n . Comme la déviation dans la direction ±ˆ n correspond
à une valeur s ˆ
n = ±/2 lorsque le spin est dans un état |χ arbitraire, cette
valeur moyenne, notée S ˆ
n , sera donnée par
S ˆ
n =
1
2
p(χ → [+, ˆ
n]) − p(χ → [−, ˆ
n]
=
1
2
χ|+, ˆ
n+, ˆ
n|χ−−χ|−, ˆ
n−, ˆ
n|χ
= χ|
1
2
|+, ˆ
n+, ˆ
n|−|−, ˆ
n−, ˆ
n|
|χ
= χ|S ˆ
n |χ
(3.38)
La matrice représentative de S ˆ
n dans la base (3.34) où S z est diagonal est
a priori donnée par la matrice hermitienne 2 × 2 la plus générale de valeurs
propres ±/2
S ˆ
n =
1
2
ab
b
∗ c
=
1
2
A
(3.39)
où a et c sont des nombres réels. L’équation aux valeurs propres λ ± de la
matrice A s’écrit
λ
2 − (a + c)λ + ac −|b|
2 =0
15. Les notations |+ et |−− sont donc des notations abrégées pour |+, ˆ
z et |−, ˆ
z.
16. Et non orthogonales comme dans le cas des photons !