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Physique quantique : Fondements
(a)
(b)
E
E
+
+
+
Fig. 3.10 – Filtres de Stern-Gerlach en série. En (b), aucun atome n’arrive sur
l’écran.
le vecteur d’état (unitaire) le plus général |χ∈Hs’écrira
|χ = λ|+ + µ|−− ou |χ =
λ
µ
|λ|
2 + |µ|
2 =1
(3.35)
Avec les vecteurs |+ et |−− on peut construire un opérateur hermitien S z tel
que ces vecteurs soient vecteurs propres de S z avec les valeurs propres ±/2
S z =
1
2
|++| − |−−−−|
=
1
2
P + −P −
=
1
2
10
0 −1
(3.36)
où P + et P − sont les projecteurs sur les états |+ et |−−.Àl ap r o p r i é t é
physique S z , composante suivant z du spin, on associe un opérateur hermitien
S z agissant dans l’espace des états H. Les vecteurs |+ et |−− sont aussi appelés
états propres de S z ,e tf o r m e n tla base où S z est diagonal : dans cette base
S z est représenté par la matrice diagonale (3.36). La propriété physique :
composante suivant z du spin, a une valeur bien déterminée +/2 ou −/2 si
le vecteur d’état |χ est égal à |+ ou |−−.
3.2.3 États de spin d’orientation arbitraire
Poursuivons l’analogie avec la polarisation d’un photon en faisant tourner
la direction du champ magnétique du filtre de Stern-Gerlach et en l’alignant
dans la direction ˆ
n : seule la composante B ˆ
n =
B · ˆ
n du champ magnétique
est non nulle. Avec cette nouvelle orientation, le filtre de Stern-Gerlach va fabriquer des états que nous noterons |+, ˆ
n et |−, ˆ
n, obtenus en sélectionnant
les atomes déviés respectivement dans le sens de ˆ
n et dans la direction opposée
14
. Par analogie avec le cas des photons, nous dirons que le spin 1/2 est
polarisé dans la direction +ˆ n ou −ˆ n. Nous procédons comme pour l’étude de
la polarisation d’un photon, en utilisant un premier filtre de Stern-Gerlach,
jouant le rôle de polariseur, dont le champ magnétique orienté suivant Oz
sélectionne les spins dans l’état |+. Le deuxième filtre a son champ magnétique orienté dans la direction ˆ
n et joue le rôle d’analyseur. Il permet de
14. Ceci suppose que l’on sache changer la direction de propagation des atomes d’argent
pour la rendre orthogonale à ˆ
n. Comme nous discutons une “expérience théorique”, nous ne
nous attarderons pas sur les moyens qui pourrraient être utilisés pour ce faire.
Physique quantique : Fondements
(a)
(b)
E
E
+
+
+
Fig. 3.10 – Filtres de Stern-Gerlach en série. En (b), aucun atome n’arrive sur
l’écran.
le vecteur d’état (unitaire) le plus général |χ∈Hs’écrira
|χ = λ|+ + µ|−− ou |χ =
λ
µ
|λ|
2 + |µ|
2 =1
(3.35)
Avec les vecteurs |+ et |−− on peut construire un opérateur hermitien S z tel
que ces vecteurs soient vecteurs propres de S z avec les valeurs propres ±/2
S z =
1
2
|++| − |−−−−|
=
1
2
P + −P −
=
1
2
10
0 −1
(3.36)
où P + et P − sont les projecteurs sur les états |+ et |−−.Àl ap r o p r i é t é
physique S z , composante suivant z du spin, on associe un opérateur hermitien
S z agissant dans l’espace des états H. Les vecteurs |+ et |−− sont aussi appelés
états propres de S z ,e tf o r m e n tla base où S z est diagonal : dans cette base
S z est représenté par la matrice diagonale (3.36). La propriété physique :
composante suivant z du spin, a une valeur bien déterminée +/2 ou −/2 si
le vecteur d’état |χ est égal à |+ ou |−−.
3.2.3 États de spin d’orientation arbitraire
Poursuivons l’analogie avec la polarisation d’un photon en faisant tourner
la direction du champ magnétique du filtre de Stern-Gerlach et en l’alignant
dans la direction ˆ
n : seule la composante B ˆ
n =
B · ˆ
n du champ magnétique
est non nulle. Avec cette nouvelle orientation, le filtre de Stern-Gerlach va fabriquer des états que nous noterons |+, ˆ
n et |−, ˆ
n, obtenus en sélectionnant
les atomes déviés respectivement dans le sens de ˆ
n et dans la direction opposée
14
. Par analogie avec le cas des photons, nous dirons que le spin 1/2 est
polarisé dans la direction +ˆ n ou −ˆ n. Nous procédons comme pour l’étude de
la polarisation d’un photon, en utilisant un premier filtre de Stern-Gerlach,
jouant le rôle de polariseur, dont le champ magnétique orienté suivant Oz
sélectionne les spins dans l’état |+. Le deuxième filtre a son champ magnétique orienté dans la direction ˆ
n et joue le rôle d’analyseur. Il permet de
14. Ceci suppose que l’on sache changer la direction de propagation des atomes d’argent
pour la rendre orthogonale à ˆ
n. Comme nous discutons une “expérience théorique”, nous ne
nous attarderons pas sur les moyens qui pourrraient être utilisés pour ce faire.