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Physique quantique : Fondements
Ce résultat suggère d’associer à la propriété physique “polarisation circulaire”
un opérateur hermitien Σ z dont les vecteurs propres sont |D et |G.N o u s
verrons au chapitre 9 que Σ z = J z est l’opérateur représentant la propriété
physique composante suivant Oz du moment angulaire (ou spin) du photon.
Nous verrons également que exp(−iθΣ z ) est l’opérateur qui effectue des rotations d’un angle θ autour de l’axe Oz. Un calcul simple (exercice 3.3.3) donne
en effet
exp(−iθΣ z )=
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
(3.28)
et exp(−iθΣ z ) transforme bien l’état |x en l’état |θ et |y en |θ ⊥
exp(−iθΣ z )|x = |θ
exp(−iθΣ z )|y = |θ ⊥
(3.29)
3.1.3 Cryptographie quantique
La cryptographie quantique est une invention récente fondée sur l’incompatibilité de deux bases différentes d’états de polarisation linéaire. La cryptographie usuelle repose sur une clé de chiffrage connue seulement de l’expéditeur
et du destinataire. Ce système est appelé à clé secrète. Il est en principe très
sûr
5 , mais il faut que l’expéditeur et le destinataire aient le moyen de se transmettre la clé sans que celle-ci soit interceptée par un espion. Or la clé doit
être changée fréquemment, car une suite de messages codés avec la même clé
est susceptible de révéler des régularités permettant le déchiffrage du message
par une tierce personne. Le processus de transmission d’une clé secrète est un
processus à risque, et c’est pour cette raison que l’on préfère maintenant les
systèmes fondés sur un principe différent, dits systèmes à clé publique,oùlaclé
est diffusée publiquement, par exemple sur Internet. Le système à clé publique
courant
6 est fondé sur la difficulté de décomposer un nombre très grand N en
facteurs premiers, alors que l’opération inverse est immédiate : sans calculette,
on obtiendra en quelques secondes 137 × 53 = 7261, mais étant donné 7261,
cela prendra un certain temps pour le décomposer en facteurs premiers. Avec
les meilleurs algorithmes actuels, le temps de calcul sur ordinateur nécessaire
pour décomposer un nombre N en facteurs premiers croît avec N comme
≃ exp[1.9(ln N )
1/3 (ln ln N )
2/3 ]. Le record actuel (2010) est de 232 chiffres, et
il faut plusieurs mois à une grappe de PC pour arriver au résultat. Dans le
système de chiffrage à clé publique, le destinataire, appelé conventionnellement Bob, diffuse publiquement à l’expéditeur, appelé conventionnellement
Alice, un nombre très grand N = pq produit de deux nombres premiers p et
q. Ce nombre suffit à Alice pour chiffrer le message, mais il faut disposer des
nombres p et q pour le déchiffrer. Bien sûr, un espion (appelé par convention
5. Un chiffrage absolument sûr a été découvert par Vernam en 1917. Cependant, la
sécurité absolue suppose que la clé soit aussi longue que le message et ne soit utilisée
qu’une seule fois !
6. Appelé chiffrage RSA, découvert par Rivest, Shamir et Adleman en 1977.
Physique quantique : Fondements
Ce résultat suggère d’associer à la propriété physique “polarisation circulaire”
un opérateur hermitien Σ z dont les vecteurs propres sont |D et |G.N o u s
verrons au chapitre 9 que Σ z = J z est l’opérateur représentant la propriété
physique composante suivant Oz du moment angulaire (ou spin) du photon.
Nous verrons également que exp(−iθΣ z ) est l’opérateur qui effectue des rotations d’un angle θ autour de l’axe Oz. Un calcul simple (exercice 3.3.3) donne
en effet
exp(−iθΣ z )=
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
(3.28)
et exp(−iθΣ z ) transforme bien l’état |x en l’état |θ et |y en |θ ⊥
exp(−iθΣ z )|x = |θ
exp(−iθΣ z )|y = |θ ⊥
(3.29)
3.1.3 Cryptographie quantique
La cryptographie quantique est une invention récente fondée sur l’incompatibilité de deux bases différentes d’états de polarisation linéaire. La cryptographie usuelle repose sur une clé de chiffrage connue seulement de l’expéditeur
et du destinataire. Ce système est appelé à clé secrète. Il est en principe très
sûr
5 , mais il faut que l’expéditeur et le destinataire aient le moyen de se transmettre la clé sans que celle-ci soit interceptée par un espion. Or la clé doit
être changée fréquemment, car une suite de messages codés avec la même clé
est susceptible de révéler des régularités permettant le déchiffrage du message
par une tierce personne. Le processus de transmission d’une clé secrète est un
processus à risque, et c’est pour cette raison que l’on préfère maintenant les
systèmes fondés sur un principe différent, dits systèmes à clé publique,oùlaclé
est diffusée publiquement, par exemple sur Internet. Le système à clé publique
courant
6 est fondé sur la difficulté de décomposer un nombre très grand N en
facteurs premiers, alors que l’opération inverse est immédiate : sans calculette,
on obtiendra en quelques secondes 137 × 53 = 7261, mais étant donné 7261,
cela prendra un certain temps pour le décomposer en facteurs premiers. Avec
les meilleurs algorithmes actuels, le temps de calcul sur ordinateur nécessaire
pour décomposer un nombre N en facteurs premiers croît avec N comme
≃ exp[1.9(ln N )
1/3 (ln ln N )
2/3 ]. Le record actuel (2010) est de 232 chiffres, et
il faut plusieurs mois à une grappe de PC pour arriver au résultat. Dans le
système de chiffrage à clé publique, le destinataire, appelé conventionnellement Bob, diffuse publiquement à l’expéditeur, appelé conventionnellement
Alice, un nombre très grand N = pq produit de deux nombres premiers p et
q. Ce nombre suffit à Alice pour chiffrer le message, mais il faut disposer des
nombres p et q pour le déchiffrer. Bien sûr, un espion (appelé par convention
5. Un chiffrage absolument sûr a été découvert par Vernam en 1917. Cependant, la
sécurité absolue suppose que la clé soit aussi longue que le message et ne soit utilisée
qu’une seule fois !
6. Appelé chiffrage RSA, découvert par Rivest, Shamir et Adleman en 1977.