3. Polarisation : photon et spin 1/2
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ont été préparés dans l’état |x. L’observation d’un seul photon ne permet
évidemment pas d’arriver à cette conclusion, sauf si on connaît par avance la
base dans laquelle il a été préparé. Le second point est que si les photons sont
transmis avec une probabilité cos
2 θ, on ne pourra pas en déduire qu’ils ont
été préparés dans l’état de polarisation linéaire (3.23). En effet, on observera
la même probabilité de transmission si les photons ont été préparés dans l’état
de polarisation elliptique (3.12), avec
λ =cosθ e
iδx
µ =sinθ e
iδy
et il faut effectuer une autre série d’expériences avec une orientation différente
de l’analyseur pour mesurer les phases (exercice 3.3.1). Seul un test dont les
résultats ont une probabilité 0 ou 1 permet de déterminer sans ambiguïté
l’état de polarisation des photons.
Dans la représentation (3.14) des vecteurs de base de H, les projecteurs
P x et P y sur les états |x et |y sont représentés par les matrices
P x =
10
00
P y =
00
01
qui commutent : [P x , P y ]=0 . Les deux opérateurs sont compatibles suivant
la définition du § 2.3.3. Les projecteurs P θ et P θ ⊥ , que l’on calcule immédiatement à partir de (3.15), sont donnés par
P θ =
cos
2 θ
sin θ cos θ
sin θ cos θ
sin
2 θ
P θ ⊥ =
sin
2 θ
− sin θ cos θ
− sin θ cos θ
cos
2 θ
Ils commutent entre eux, mais ne commutent ni avec P x ,n ia v e cP y : P x
et P θ par exemple sont incompatibles. La commutation (ou la non commutation) d’opérateurs traduit mathématiquement la compatibilité (ou la non
compatibilité) de propriétés physiques.
Un autre choix de base consiste à utiliser les états de polarisation circulaire
droite |D et gauche |G (3.11). La base {|D, |G} est incompatible avec toute
base formée avec des états de polarisation linéaire (et même complémentaire
de ces bases). Les projecteurs P D et P G sur les états de polarisation circulaire
sont
P D =
1
2
1 −i
i 1
P G =
1
2
1 i
−i 1
(3.25)
Ave c P D et P G on forme l’opérateur hermitique remarquable Σ z
Σ z = P D −P G =
0 −i
i 0
(3.26)
Cet opérateur a pour vecteurs propres les états |D et |G dont les valeurs
propres respectives sont +1 et −1
Σ z |D = |D
Σ z |G = −|G
(3.27)
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ont été préparés dans l’état |x. L’observation d’un seul photon ne permet
évidemment pas d’arriver à cette conclusion, sauf si on connaît par avance la
base dans laquelle il a été préparé. Le second point est que si les photons sont
transmis avec une probabilité cos
2 θ, on ne pourra pas en déduire qu’ils ont
été préparés dans l’état de polarisation linéaire (3.23). En effet, on observera
la même probabilité de transmission si les photons ont été préparés dans l’état
de polarisation elliptique (3.12), avec
λ =cosθ e
iδx
µ =sinθ e
iδy
et il faut effectuer une autre série d’expériences avec une orientation différente
de l’analyseur pour mesurer les phases (exercice 3.3.1). Seul un test dont les
résultats ont une probabilité 0 ou 1 permet de déterminer sans ambiguïté
l’état de polarisation des photons.
Dans la représentation (3.14) des vecteurs de base de H, les projecteurs
P x et P y sur les états |x et |y sont représentés par les matrices
P x =
10
00
P y =
00
01
qui commutent : [P x , P y ]=0 . Les deux opérateurs sont compatibles suivant
la définition du § 2.3.3. Les projecteurs P θ et P θ ⊥ , que l’on calcule immédiatement à partir de (3.15), sont donnés par
P θ =
cos
2 θ
sin θ cos θ
sin θ cos θ
sin
2 θ
P θ ⊥ =
sin
2 θ
− sin θ cos θ
− sin θ cos θ
cos
2 θ
Ils commutent entre eux, mais ne commutent ni avec P x ,n ia v e cP y : P x
et P θ par exemple sont incompatibles. La commutation (ou la non commutation) d’opérateurs traduit mathématiquement la compatibilité (ou la non
compatibilité) de propriétés physiques.
Un autre choix de base consiste à utiliser les états de polarisation circulaire
droite |D et gauche |G (3.11). La base {|D, |G} est incompatible avec toute
base formée avec des états de polarisation linéaire (et même complémentaire
de ces bases). Les projecteurs P D et P G sur les états de polarisation circulaire
sont
P D =
1
2
1 −i
i 1
P G =
1
2
1 i
−i 1
(3.25)
Ave c P D et P G on forme l’opérateur hermitique remarquable Σ z
Σ z = P D −P G =
0 −i
i 0
(3.26)
Cet opérateur a pour vecteurs propres les états |D et |G dont les valeurs
propres respectives sont +1 et −1
Σ z |D = |D
Σ z |G = −|G
(3.27)