78
Physique quantique : Fondements
sens trigonométrique
E x (t)=Re
E 0
√
2
e
−iωt
=
E 0
√
2
cos ωt
E y (t)=Re
E 0
√
2
e
−iωt
e
−iπ/2
=
E 0
√
2
cos(ωt + π/2) = −
E 0
√
2
sin ωt (3.10)
Ces états de polarisation circulaire droite et gauche sont obtenus expérimentalement en partant d’une polarisation linéaire à 45
o
par rapport aux axes et
en déphasant de ±π/2 le champ suivant Ox ou Oy par une lame quart d’onde.
En notation complexe, les champs E x et E y s’écrivent
E x =
1
√
2
E 0
E y =
1
√
2
E 0 e
±iπ/2 =
±i
√
2
E 0
où le signe (+) correspond à la polarisation circulaire droite et le signe (−) à
la polarisation circulaire gauche. Le facteur de proportionnalité E 0 commun
à E x et E y définit l’intensité de l’onde lumineuse et ne joue aucun rôle dans la
description de la polarisation, qui est caractérisée par les vecteurs unitaires
|D = −
1
√
2
(|x + i|y)
|G =
1
√
2
(|x−i|y)
(3.11)
Le signe (−) global dans la définition de |D a été introduit par souci de
cohérence avec les conventions du chapitre 9. L’équation (3.11) montre que
la description mathématique de la polarisation nous amène naturellement à
utiliser les vecteurs unitaires d’un espace vectoriel complexe bidimensionnel
H dont les vecteurs |x et |y forment une base orthonormée possible.
Nous avons établi précédemment une correspondance entre une polarisation linéaire orientée suivant ˆ
n θ et un vecteur unitaire |θ de H, ainsi qu’une
correspondance entre les deux polarisations circulaires et les deux vecteurs
(3.11) de H. Nous allons généraliser cette correspondance en construisant la
polarisation correspondant au vecteur unitaire |Φ de H le plus général
3
|Φ = λ|x + µ|y| λ|
2 + |µ|
2 =1
(3.12)
Il est toujours possible de choisir λ réel (on vérifiera dans l’exercice 3.3.1 que
la physique n’est pas modifiée si λ est complexe). Les nombres λ et µ peuvent
alors être paramétrés par deux angles θ et η
λ =cosθµ =sinθ e
iη
Réalisons le dispositif suivant à l’aide de deux lames biréfringentes et d’un
polariseur linéaire, sur lequel arrive une onde électromagnétique (3.7) : ce
dispositif sera appelé polariseur (λ, µ).
3. Nous utilisons des lettres majuscules |Φ ou |Ψ pour des vecteurs génériques de H de
la forme (3.12) ou (3.16), afin qu’il n’y ait pas de confusion possible avec un angle, comme
dans |θ ou |α.
Physique quantique : Fondements
sens trigonométrique
E x (t)=Re
E 0
√
2
e
−iωt
=
E 0
√
2
cos ωt
E y (t)=Re
E 0
√
2
e
−iωt
e
−iπ/2
=
E 0
√
2
cos(ωt + π/2) = −
E 0
√
2
sin ωt (3.10)
Ces états de polarisation circulaire droite et gauche sont obtenus expérimentalement en partant d’une polarisation linéaire à 45
o
par rapport aux axes et
en déphasant de ±π/2 le champ suivant Ox ou Oy par une lame quart d’onde.
En notation complexe, les champs E x et E y s’écrivent
E x =
1
√
2
E 0
E y =
1
√
2
E 0 e
±iπ/2 =
±i
√
2
E 0
où le signe (+) correspond à la polarisation circulaire droite et le signe (−) à
la polarisation circulaire gauche. Le facteur de proportionnalité E 0 commun
à E x et E y définit l’intensité de l’onde lumineuse et ne joue aucun rôle dans la
description de la polarisation, qui est caractérisée par les vecteurs unitaires
|D = −
1
√
2
(|x + i|y)
|G =
1
√
2
(|x−i|y)
(3.11)
Le signe (−) global dans la définition de |D a été introduit par souci de
cohérence avec les conventions du chapitre 9. L’équation (3.11) montre que
la description mathématique de la polarisation nous amène naturellement à
utiliser les vecteurs unitaires d’un espace vectoriel complexe bidimensionnel
H dont les vecteurs |x et |y forment une base orthonormée possible.
Nous avons établi précédemment une correspondance entre une polarisation linéaire orientée suivant ˆ
n θ et un vecteur unitaire |θ de H, ainsi qu’une
correspondance entre les deux polarisations circulaires et les deux vecteurs
(3.11) de H. Nous allons généraliser cette correspondance en construisant la
polarisation correspondant au vecteur unitaire |Φ de H le plus général
3
|Φ = λ|x + µ|y| λ|
2 + |µ|
2 =1
(3.12)
Il est toujours possible de choisir λ réel (on vérifiera dans l’exercice 3.3.1 que
la physique n’est pas modifiée si λ est complexe). Les nombres λ et µ peuvent
alors être paramétrés par deux angles θ et η
λ =cosθµ =sinθ e
iη
Réalisons le dispositif suivant à l’aide de deux lames biréfringentes et d’un
polariseur linéaire, sur lequel arrive une onde électromagnétique (3.7) : ce
dispositif sera appelé polariseur (λ, µ).
3. Nous utilisons des lettres majuscules |Φ ou |Ψ pour des vecteurs génériques de H de
la forme (3.12) ou (3.16), afin qu’il n’y ait pas de confusion possible avec un angle, comme
dans |θ ou |α.