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Physique quantique : Exercices et applications
Ce puits sphérique décrit approximativement la diffusion neutron-proton avec
les paramètres suivants (exercices 9.7.8 et 13.5.3)
R ≃ 2f m
V 0 ≃ 26 MeV
L’équation de Schrödinger radiale s’écrit
−
d
2
dr 2 +
2m
2 V (r)
u(r)=
2m
2 Eu(r)
(13.30)
ce qui donne
r>R :
d
2
dr 2 + k
2
u(r)=0
r d
2
dr 2 + k
′ 2
u(r)=0
avec k
2 =2 mE/
2 et k
′ 2 =2 m(E + V 0 )/
2 , d’où, en tenant compte de la
condition u(r =0)=0
r>R : u(r)=C sin(kr + δ)
r ′ r
La continuité de la dérivée logarithmique de u(r) à r = R impose
k
′ cot k
′ R = k cot(kR + δ)
(13.31)
L’équation
cot x = i
e
2ix +1
e 2ix − 1
permet de déterminer l’élément de matrice S, S(k) ; après un calcul sans
difficulté, on trouve
S(k)=e
2iδ(k) = e
−2ikR
cos k
′ R + i
k
k ′ sin k
′ R
cos k
′ R − i
k
k ′ sin k
′ R
(13.32)
L’expression donnant S(k) est bien de module unité. Évidemment, le déphasage n’est déterminé qu’à π près : pour avoir la “vraie” valeur du déphasage,
il faudrait faire croître le potentiel de 0 à V 0 et suivre l’évolution de δ entre
zéro et sa valeur finale.
Comme dans le cas unidimensionnel (cf. § 8.3.4), il existe une relation
remarquable entre la matrice S et les états liés. Posons en effet k = iκ (on
verra dans un instant qu’il faut choisir k = iκ, κ > 0,e tn o nk = −iκ). La
fonction S(k) ad e sp ô l e sp o u r
cos k
′ R +
κ
k ′ sin k
′ R =0
(13.33)