13. Théorie de la diffusion
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nombre limité d’ondes partielles vont contribuer. En particulier, seule l’onde s
(l =0) va donner une contribution appréciable lorsque k → 0. Une version plus
précise de cet argument consiste à remarquer que la probabilité de présence
dans la couronne sphérique [r, r + dr] ∝ r
2 j
2
l (kr) d’une onde sphérique libre
est négligeable pour kr < ∼ [l(l +1)]
1/2 et cette onde ne pénètre pas dans les
régions où le potentiel est important pour les petites valeurs de k,saufsil =0,
auquel cas j
2
0 (kr) ∝ cste si r → 0. On montre rigoureusement
8 que pour un
potentiel de portée limitée R, le déphasage δ l se comporte comme
δ l (k) ∝ (kR)
2l+1
(13.28)
lorsque k → 0,o ul →∞.
13.2.2 Diffusion à basse énergie
Lorsque le potentiel est de portée limitée, l’onde s sera la seule à contribuer de façon appréciable à la section efficace de basse énergie, et celle-ci sera
par conséquent isotrope. Jusqu’à la fin de cette section, nous prendrons en
compte uniquement l’onde l =0et nous utiliserons les notations δ l=0 = δ(k),
S l=0 (k)=S(k), f l=0 (k)=f (k), u l=0 (r)=u(r).C o m p t et e n ud uc o m p o r -
tement (13.28) pour l =0 , δ(k) ∝ k, on définit la longueur de diffusion a
par
a = − lim
k→0
δ(k)
k
(13.29)
Le signe (−) est conventionnel et cette convention sera justifiée ci-dessous.
R
V (r)
r
O
− V 0
Fig. 13.4 – Puits sphérique.
Comme exemple de calcul de déphasage et de longueur de diffusion, nous
allons traiter le cas du puits sphérique (figure 13.4)
V (r)=−V 0
0 ≤ r ≤ R
V (r)=0
r>R
8. Voir par exemple Messiah [1959], chapitre X.