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Physique quantique : Exercices et applications
La fonction
S l (k)=e
2iδ l (k)
(13.26)
où nous avons explicité la dépendance en k,e s ta p pe l é eélément de matrice S
dans l’onde partielle l, et joue un rôle important, que l’on peut comprendre
en comparant les comportements (13.21) et (13.22) de l’onde sphérique libre
j l (kr) et de la fonction d’onde en présence d’un potentiel
j l (kr) ∝
(−1)
l+1 e
−ikr + e
ikr
u l (r) ∝
(−1)
l+1 e
−ikr + e
2iδ l e
ikr
L’effet du potentiel est de multiplier la partie onde sphérique sortante par le
facteur de phase S l =e x p ( 2 iδ l ), l’onde entrante n’étant pas affectée, ce qui
résulte des conditions aux limites imposées. En effet, l’onde plane incidente
est composée d’une onde sphérique entrante et d’une onde sphérique sortante.
La partie sortante est modifiée par la diffusion, car les particules sont diffusées
par la cible et divergent à partir de celle-ci, mais ce n’est pas le cas de l’onde
entrante qui n’est pas modifiée par l’interaction avec la cible. Nous montrerons
au § 13.3.1 que la condition |S l | =1rend compte du fait que le nombre de
particules entrantes dans une sphère de grand rayon tracée autour de la cible
est égal à celui des particules sortantes lorsque la diffusion est élastique.
Chaque terme de (13.25) correspond à la section efficace de diffusion dans
l’onde partielle l. Évidemment, l’identification de la contribution de chaque
onde partielle n’est possible que pour la section efficace totale, car les diverses
ondes partielles interfèrent dans la section efficace différentielle. On remarque
que la contribution à la section efficace totale de chaque onde partielle est
bornée
σ l =
4π
k 2 (2l +1)sin
2 δ l ≤ σ
max
l
=
4π
k 2 (2l +1)
(13.27)
Donnons une interprétation semi-classique de ce résultat. Classiquement, le
moment angulaire l et le paramètre d’impact sont reliés par l = kb et par
conséquent
l
k
≤ b ≤
l +1
k
La section efficace classique maximale est l’aire comprise entre les cercles de
rayons l et l +1
σ l ≤
π
k 2
(l +1)
2 − l
2
=
π
k 2 (2l +1)=
1
4
σ
max
l
La section efficace classique est au maximum le quart de la section maximale
quantique. Supposons que le potentiel ait une portée limitée : V (r)=0si
r>R . Alors, d’un point de vue classique, une particule incidente ne pourra
interagir que si son paramètre d’impact est inférieur à R : b
des déphasages sera performante si l’énergie est faible, car dans ce cas seul un
Physique quantique : Exercices et applications
La fonction
S l (k)=e
2iδ l (k)
(13.26)
où nous avons explicité la dépendance en k,e s ta p pe l é eélément de matrice S
dans l’onde partielle l, et joue un rôle important, que l’on peut comprendre
en comparant les comportements (13.21) et (13.22) de l’onde sphérique libre
j l (kr) et de la fonction d’onde en présence d’un potentiel
j l (kr) ∝
(−1)
l+1 e
−ikr + e
ikr
u l (r) ∝
(−1)
l+1 e
−ikr + e
2iδ l e
ikr
L’effet du potentiel est de multiplier la partie onde sphérique sortante par le
facteur de phase S l =e x p ( 2 iδ l ), l’onde entrante n’étant pas affectée, ce qui
résulte des conditions aux limites imposées. En effet, l’onde plane incidente
est composée d’une onde sphérique entrante et d’une onde sphérique sortante.
La partie sortante est modifiée par la diffusion, car les particules sont diffusées
par la cible et divergent à partir de celle-ci, mais ce n’est pas le cas de l’onde
entrante qui n’est pas modifiée par l’interaction avec la cible. Nous montrerons
au § 13.3.1 que la condition |S l | =1rend compte du fait que le nombre de
particules entrantes dans une sphère de grand rayon tracée autour de la cible
est égal à celui des particules sortantes lorsque la diffusion est élastique.
Chaque terme de (13.25) correspond à la section efficace de diffusion dans
l’onde partielle l. Évidemment, l’identification de la contribution de chaque
onde partielle n’est possible que pour la section efficace totale, car les diverses
ondes partielles interfèrent dans la section efficace différentielle. On remarque
que la contribution à la section efficace totale de chaque onde partielle est
bornée
σ l =
4π
k 2 (2l +1)sin
2 δ l ≤ σ
max
l
=
4π
k 2 (2l +1)
(13.27)
Donnons une interprétation semi-classique de ce résultat. Classiquement, le
moment angulaire l et le paramètre d’impact sont reliés par l = kb et par
conséquent
l
k
≤ b ≤
l +1
k
La section efficace classique maximale est l’aire comprise entre les cercles de
rayons l et l +1
σ l ≤
π
k 2
(l +1)
2 − l
2
=
π
k 2 (2l +1)=
1
4
σ
max
l
La section efficace classique est au maximum le quart de la section maximale
quantique. Supposons que le potentiel ait une portée limitée : V (r)=0si
r>R . Alors, d’un point de vue classique, une particule incidente ne pourra
interagir que si son paramètre d’impact est inférieur à R : b
des déphasages sera performante si l’énergie est faible, car dans ce cas seul un