13. Théorie de la diffusion
555
comparer les développements asymptotiques r →∞de (13.9) et de (13.13)
en choisissant A =1. Compte tenu de (13.17), le développement (13.9) s’écrit
e
ikz + f (θ)
e
ikr
r
=
∞
l=0
X l (r) P l (cos θ)
X l (r)=( 2 l +1)i
l j l (kr)+f l
e
ikr
r
La forme asymptotique (13.19) de j l donne
i
l j l (kr) ≃
1
2ikr
(−1)
l+1 e
−ikr + e
ikr
et on en déduit
X l =
2l +1
2ikr
(−1)
l+1 e
−ikr +
1+
2ik
2l +1
f l
e
ikr
(13.21)
La fonction X l (r) doit être asymptotiquement égale à u l (r)/r qui vaut, d’après
(13.20)
u l (r)
r
≃
a l
2ir
(−1)
l+1 e
−ikr + e
2iδ l e
ikr
(13.22)
L’égalité de (13.21) et (13.22) n’est possible que si
e
2iδ l =1+
2ik
2l +1
f l
soit
f l =
2l +1
2ik
e
2iδ l − 1
=
2l +1
k
e
iδ l sin δ l
(13.23)
Cette équation donne l’expression recherchée de f (θ) en fonction des déphasages
f (θ)=
1
k
∞
l=0
(2l +1)e
iδ l sin δ l P l (cos θ)
(13.24)
On déduit la section efficace différentielle de (13.12) et la section efficace
totale par intégration sur les angles, en utilisant la relation d’orthogonalité
des polynômes de Legendre déduite de (9.62) et de l’orthogonalité (9.55) des
harmoniques sphériques.
dΩ P l (cos θ) P l ′ (cos θ)=
4π
2l +1
δ ll ′
Le résultat pour σ tot s’écrit
σ tot =
4π
k 2
∞
l=0
(2l +1)sin
2 δ l
(13.25)
555
comparer les développements asymptotiques r →∞de (13.9) et de (13.13)
en choisissant A =1. Compte tenu de (13.17), le développement (13.9) s’écrit
e
ikz + f (θ)
e
ikr
r
=
∞
l=0
X l (r) P l (cos θ)
X l (r)=( 2 l +1)i
l j l (kr)+f l
e
ikr
r
La forme asymptotique (13.19) de j l donne
i
l j l (kr) ≃
1
2ikr
(−1)
l+1 e
−ikr + e
ikr
et on en déduit
X l =
2l +1
2ikr
(−1)
l+1 e
−ikr +
1+
2ik
2l +1
f l
e
ikr
(13.21)
La fonction X l (r) doit être asymptotiquement égale à u l (r)/r qui vaut, d’après
(13.20)
u l (r)
r
≃
a l
2ir
(−1)
l+1 e
−ikr + e
2iδ l e
ikr
(13.22)
L’égalité de (13.21) et (13.22) n’est possible que si
e
2iδ l =1+
2ik
2l +1
f l
soit
f l =
2l +1
2ik
e
2iδ l − 1
=
2l +1
k
e
iδ l sin δ l
(13.23)
Cette équation donne l’expression recherchée de f (θ) en fonction des déphasages
f (θ)=
1
k
∞
l=0
(2l +1)e
iδ l sin δ l P l (cos θ)
(13.24)
On déduit la section efficace différentielle de (13.12) et la section efficace
totale par intégration sur les angles, en utilisant la relation d’orthogonalité
des polynômes de Legendre déduite de (9.62) et de l’orthogonalité (9.55) des
harmoniques sphériques.
dΩ P l (cos θ) P l ′ (cos θ)=
4π
2l +1
δ ll ′
Le résultat pour σ tot s’écrit
σ tot =
4π
k 2
∞
l=0
(2l +1)sin
2 δ l
(13.25)