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Physique quantique : Exercices et applications
Si V (r) tend vers zéro suffisamment vite
6 pour r →∞ , on peut négliger dans (13.14) V (r) et le terme de barrière centrifuge. Le comportement
asymptotique de u l (r) sera alors
r →∞ : u l (r) ∝ sin(kr + ˆ
δ l )
Comparons ce comportement avec celui d’une onde plane. Une onde plane
exp(ikz)=exp(ikr cos θ) est une solution à symétrie cylindrique de l’équation
de Schrödinger lorsque V (r)=0. On peut donc écrire pour exp(ikz) un développement en polynômes de Legendre du type (13.13). Les coefficients de ce
développement sont calculés à partir de (13.16) et sont appelés fonctions de
Bessel sphériques j l (kr)
e
ikz =
∞
l=0
(2l +1)i
l j l (kr)P l (cos θ)
(13.17)
Les fonctions de Bessel sphériques s’expriment en fonction de sinus et de
cosinus et on montre qu’elles sont données par
j l (x)=(−1)
l x
l
1
x
d
dx
l sin x
x
=(−1)
l x
l
1
x
d
dx
l
j 0 (x)
(13.18)
Lorsque r → 0, rj l (kr) ∝ (kr)
l+1 , ce qui est un cas particulier du comportement (13.15) puisque rj l (kr) est solution de l’équation de Schrödinger radiale
avec V (r)=0, tandis que si r →∞,o nm o n t r eq u e
7
r →∞ : j l (kr) ≃
1
kr
sin
kr −
1
2
lπ
(13.19)
La comparaison avec le comportement de u l (r) conduit à définir
δ l = ˆ
δ l −
1
2
lπ
ce qui permet d’écrire le comportement asymptotique de u l (r)
r →∞ : u l (r) ≃ a l sin
kr −
1
2
lπ + δ l
(13.20)
Le nombre δ l est le déphasage dans l’onde partielle l, et c’est une fonction
de k : δ l (k). Afin d’exprimer f (θ) en fonction des déphasages, il suffit de
6. Cette qualification du potentiel mériterait d’être précisée. Tous les résultats de ce
chapitre sont valides si V (r) e s td epo r t é efi n i e( V (r)=0si r>R ) ou décroît à l’infini plus
vite que tout puissance. Si V (r) décroît à l’infini comme r −α , certains des résultats ne sont
valides que si α ≥ α 0 . La discussion de ce problème est assez technique, et nous renvoyons
le lecteur aux ouvrages cités en référence.
7. Voir par exemple Cohen-Tannoudji et al. [1973], complément A VIII .
Physique quantique : Exercices et applications
Si V (r) tend vers zéro suffisamment vite
6 pour r →∞ , on peut négliger dans (13.14) V (r) et le terme de barrière centrifuge. Le comportement
asymptotique de u l (r) sera alors
r →∞ : u l (r) ∝ sin(kr + ˆ
δ l )
Comparons ce comportement avec celui d’une onde plane. Une onde plane
exp(ikz)=exp(ikr cos θ) est une solution à symétrie cylindrique de l’équation
de Schrödinger lorsque V (r)=0. On peut donc écrire pour exp(ikz) un développement en polynômes de Legendre du type (13.13). Les coefficients de ce
développement sont calculés à partir de (13.16) et sont appelés fonctions de
Bessel sphériques j l (kr)
e
ikz =
∞
l=0
(2l +1)i
l j l (kr)P l (cos θ)
(13.17)
Les fonctions de Bessel sphériques s’expriment en fonction de sinus et de
cosinus et on montre qu’elles sont données par
j l (x)=(−1)
l x
l
1
x
d
dx
l sin x
x
=(−1)
l x
l
1
x
d
dx
l
j 0 (x)
(13.18)
Lorsque r → 0, rj l (kr) ∝ (kr)
l+1 , ce qui est un cas particulier du comportement (13.15) puisque rj l (kr) est solution de l’équation de Schrödinger radiale
avec V (r)=0, tandis que si r →∞,o nm o n t r eq u e
7
r →∞ : j l (kr) ≃
1
kr
sin
kr −
1
2
lπ
(13.19)
La comparaison avec le comportement de u l (r) conduit à définir
δ l = ˆ
δ l −
1
2
lπ
ce qui permet d’écrire le comportement asymptotique de u l (r)
r →∞ : u l (r) ≃ a l sin
kr −
1
2
lπ + δ l
(13.20)
Le nombre δ l est le déphasage dans l’onde partielle l, et c’est une fonction
de k : δ l (k). Afin d’exprimer f (θ) en fonction des déphasages, il suffit de
6. Cette qualification du potentiel mériterait d’être précisée. Tous les résultats de ce
chapitre sont valides si V (r) e s td epo r t é efi n i e( V (r)=0si r>R ) ou décroît à l’infini plus
vite que tout puissance. Si V (r) décroît à l’infini comme r −α , certains des résultats ne sont
valides que si α ≥ α 0 . La discussion de ce problème est assez technique, et nous renvoyons
le lecteur aux ouvrages cités en référence.
7. Voir par exemple Cohen-Tannoudji et al. [1973], complément A VIII .